Лінійна модель регресії, яка найкраще підходить для даних з помилками

Я шукаю алгоритм лінійної регресії, який найбільше підходить для даних, незалежна змінна (x) яких має постійну помилку вимірювання, а залежна змінна (y) має помилку, залежну від сигналу.

введіть тут опис зображення

Наведене вище зображення ілюструє моє запитання.

— користувач46178
джерело

Якщо постійна змінна x має постійну похибку вимірювання, а помилки використовуються лише для відносного зважування змінних, чи не ця ситуація рівнозначна помилкам у x?

— pedrofigueira

@pedro Це не так, оскільки помилки в це не просто ваги у формулі. При регресії змінних помилок у змінних пристосуваннях будуть відрізнятися, а оцінки коваріації параметрів будуть відрізнятися від звичайних регресій.

x

$x$

— whuber

Дякую за роз’яснення. Чи можете ви трохи розширити, чому це так?

— pedrofigueira

Похибка вимірювання у залежній змінній

Враховуючи загальну лінійну модель з homosckedastic, не автокорельована і некорельована з незалежними змінними, нехай позначає "справжню" змінну, і її спостережуваний захід. Похибка вимірювання визначається як їх різниця Отже, оцінною моделлю є: Оскільки є спостерігається, ми можемо оцінити модель за OLS. Якщо похибка вимірювання у статистично не залежить від кожної пояснювальної змінної, то

\begin{matrix} (1) & y = β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{k} x_{k} + ε \end{matrix}

$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\cdots+\beta_kx_k+\varepsilon\tag{1}$

ε

$\varepsilon$

y^{*}

$y^*$

y

$y$

e = y - y^{*}

$e=y-y^*$

\begin{matrix} (2) & y = β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{k} x_{k} + e + ε \end{matrix}

$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\cdots+\beta_kx_k+e+\varepsilon\tag{2}$

y, x_{1}, \dots, x_{k}

$y,x_1,\dots,x_k$

y

$y$

(e + ε)

$(e+\varepsilon)$ має ті самі властивості, що і і звичайні процедури виводу OLS ( статистика тощо) є дійсними. Однак у вашому випадку я б очікував, що розширення . Ви можете використовувати:

ε

$\varepsilon$

t

$t$

e

$e$

зваженої оцінки по методу найменших квадратів (наприклад , Кутнер і ін. , §11.1; Verbeek , §4.3.1-3);
МНК - оцінка, яка по - , як і раніше несмещенной і заможної, і гетероскедастичності-послідовної стандартні помилки, або просто Wite стандартних помилок ( Verbeek , §4.3.4).

Похибка вимірювання в незалежній змінній

Враховуючи ту ж лінійну модель, що і вище, нехай позначає значення "справжнє", а його міру, яку можна спостерігати. Похибка вимірювання тепер: Існують дві основні ситуації ( Wooldridge , §4.4.2). $x_k^*$ $x_k$

e_{k} = x_{k} - x_{k}^{*}

$e_k=x_k-x_k^*$

$\text{Cov}(x_k,e_k)=0$ : похибка вимірювання некорельована із спостережуваною мірою і тому повинна бути співвіднесена із незарезервованою змінною ; написання та підключення цього до (1): оскільки і обидва некорельовані з кожним , включаючи , вимірювання просто збільшує відхилення помилок і порушує жодне з припущень OLS; $x^*_k$ $x_k^*=x_k-e_k$
$y = β_{0} + β_{1} x_{1} + \dots + β_{k} x_{k} + (ε - β_{k} e_{k})$ $y=\beta_0+\beta_1x_1+\cdots+\beta_kx_k+(\varepsilon-\beta_ke_k)$ $\varepsilon$ $e$ $x_j$ $x_k$
$\text{Cov}(x^*_k,\eta_k)=0$ : похибка вимірювання некорельована із незазначеною змінною і тому повинна бути співвіднесена із спостережуваною мірою ; таке співвідношення спричиняє проблеми і регресія OLS на як правило, дає необ'єктивні та неузгоджені оцінки. $x_k$ $y$ $x_1,\dots,x_k$

Наскільки я можу здогадатися, дивлячись на ваш сюжет (помилки, зосереджені на "справжніх" значеннях незалежної змінної), міг би застосувати перший сценарій.

— Серхіо
джерело