MCMC з алгоритмом Metropolis-Hastings: Вибір пропозиції

Мені потрібно зробити моделювання, щоб оцінити інтеграл функції 3 параметрів, ми говоримо $f$, яка має дуже складну формулу. Для його обчислення пропонується використовувати метод MCMC та реалізувати алгоритм Metropolis-Hastings для генерування значень, розподілених як , і було запропоновано використовувати 3 змінних нормальних як розподіл пропозицій. Читаючи кілька прикладів з цього приводу, я бачив, що деякі з них використовують нормальну з фіксованими параметрами а деякі використовують зі змінною середньою , де - останнє прийняте значення як розподілено згідно з . У мене є деякі сумніви щодо обох підходів:$f$$N(\mu, \sigma)$$N(X, \sigma)$$X$$f$

1) Який сенс вибору останнього прийнятого значення як нового середнього рівня розповсюдження нашої пропозиції? Моя інтуїція говорить, що це повинно гарантувати, що наші цінності будуть ближче до значень, розподілених як і шанси на прийняття будуть більшими. Але чи не надто це концентрує наш зразок? Це гарантовано, що якщо я отримаю більше проб, ланцюг стане нерухомим?$f$

2) Чи не вибрали би фіксовані параметри (оскільки аналіз дуже важко проаналізувати) було б дуже важким і залежним від першого зразка, який нам потрібно вибрати для запуску алгоритму? У цьому випадку, що було б найкращим підходом до пошуку, який із них кращий?$f$

Чи є один із цих підходів кращим за інший чи це залежить від конкретного випадку?

Сподіваюсь, мої сумніви ясні, і я був би радий, якщо можна було б дати трохи літератури (я прочитав деякі статті на цю тему, але більше - це краще!)

Спасибі заздалегідь!

1) Ви могли б подумати про цей метод як про випадковий підхід. Коли розподіл пропозицій , його зазвичай називають алгоритмом метрополії. Якщо занадто мало, ви будете мати високу швидкість прийняття і дуже повільно вивчите цільовий розподіл. Насправді, якщо занадто малий і розподіл мультимодальний, вибірки можуть застрягнути в певному режимі і не зможуть повністю вивчити цільовий розподіл. З іншого боку, якщо занадто велика, швидкість прийняття буде занадто низькою. Оскільки у вас є три виміри, ваш розподіл пропозицій матиме коваріаційну матрицю$x \mid x^t \sim N( x^t, \sigma^2)$$\sigma^2$$\sigma^2$$\sigma^2$$\Sigma$що, ймовірно, вимагатиме різних варіацій та коваріацій для кожного виміру. Вибір відповідного може бути складним.$\Sigma$

2) Якщо ваш розповсюдження пропозицій завжди , це незалежний алгоритм Metropolis-Hastings, оскільки ваше розповсюдження пропозицій не залежить від вашого поточного зразка. Цей метод найкраще працює, якщо ваше розповсюдження пропозицій є хорошим наближенням до цільового розподілу, з якого ви хочете взяти вибірку. Ви вірні, що вибір нормального наближення може бути важким.$N(\mu, \sigma^2)$

Успіх жодного з методів не повинен залежати від початкового значення вибірки. Де б ви не починали, ланцюг Маркова з часом повинен сходитися до цільового розподілу. Щоб перевірити конвергенцію, можна запустити кілька ланцюгів з різних вихідних точок і провести діагностику конвергенції, таку як діагностика конвергенції Гельмана-Рубіна.