Приклади неправильного застосування теореми Байєса

Це питання спільноти Math Overflow попросило «приклади поганих аргументів, які передбачають застосування математичних теорем у нематематичних контекстах» та створило захоплюючий список патологічно застосованої математики.

Мене цікавить подібні приклади патологічних застосувань байєсівського умовиводу. Хто-небудь стикався з академічними статтями, ексцентричними публікаціями в блогах, які використовують байєсовські методи по-хитромудрі.

bayesian

— Chris Brent
джерело

Так. Нещодавно мене прийняли на посаду статистичного консультанта для вивчення конкретної (дуже жахливої) статті, авторам якої вдалося змусити себе виглядати ще гірше у листі до редактора, використовуючи теорему Байєса. Вони почали з прорахункового позитивного прогнозного значення зі своєї статті (PPV = 95% нібито). Вони, в основному, не враховували критичного листа з цього приводу Річчі ^_(2004), який намагався (і не зміг) сказати їм, як вони повинні були обчислити це (він запропонував 82,3%). Потім вони знайшли підручник з біостатами ^₍ Elston ^{_{& Johnson, 1994)}} і неправильно написали його. Ми купили книгу і перевірили, але заднім часом це було так само непотрібно, як я підозрював. Отримайте завантаження цього безладу (з листа відповіді Barsness та ін. До редактора):

У теоремі Байєса ¹ загалом зазначається, що низька поширеність конкретного захворювання (NAT) підсилює позитивне прогностичне значення позитивного тесту (перелом ребра) для визначення стану хвороби (жертва NAT) ... Згідно теореми Байєса, ¹ ймовірність події визначається наступним рівнянням: P - вірогідність справжньої події ( потерпілий від NAT), P (S / D ₁ ) - вірогідність позитивного тесту (PPV перелому ребра для прогнозування NAT), а P (S / D ₂ ) - задня ймовірність позитивного тесту (поширеність NAT) . Підставляючи наші дані, ймовірність того, що перелом ребра є справжньою подією
$P = \frac{P (S / D_{1})}{P (S / D_{1}) + P (S / D_{2})}$ $\rm P=\frac{P(S/D_1)}{P(S/D_1)+P(S/D_2)}$ $[p = 95/(95 + 1.6)]$ становить 98,3 відсотка. Використовуючи вищезгаданий нижчий розрахунок ПДВ 82,3 відсотка, ймовірність справжньої події становить 98,1 відсотка.

Бачите тут щось ~~дивне~~ узгоджене ? Я впевнений, що ні ...

Це теорема Байєса, оскільки Елстон та Джонсон ^{₍₁₉₉₄₎} застосовують її до прикладу спадковості гемофілії:

$P (D_{1} | S) = \frac{P (D_{1}) P (S | D_{1})}{P (D_{1}) P (S | D_{1}) + P (D_{2}) P (S | D_{2})}$ $\rm P(D_1|S)=\frac{P(D_1)P(S|D_1)}{P(D_1)P(S|D_1)+P(D_2)P(S|D_2)}$

Розбіжності говорять самі за себе, але ось цитата з їх обговорення прикладу:

Той факт, що у неї народився один син, який не зазнає впливу, зменшує ймовірність того, що вона успадкувала ген гемофілії, а отже, ймовірність того, що другий син постраждає.

Звідки Барснес та його колеги дійшли думки, що низька поширеність посилює PPV, я не знаю, але вони впевнені, що не звертали уваги на власний підручник.
Вони, схоже, не розуміють, що ППВ - це ймовірність "справжньої події" (D ₁ ), що має перелом ребра (S). Таким чином, в поетично повній демонстрації " сміття в, сміття виходять ", вони вводять свій ППВ як чисельник і знаменник, додають перевагу знаменнику і отримують більш високий рівень PPV. Прикро, що вони не усвідомлювали, що можуть продовжувати цей круговий рекламний музей : Хоча 98.4 насправді ; тобто будь-який ППВ міг би бути перетворений на 98,4 з поширеністю = 1,6, якщо їх версія рівняння була правильною, застосовуючи його ітеративно.
$p_{1} = 95 / (95 + 1.6) = 98.3 \to p_{2} = 98.3 / (98.3 + 1.6) = 98.4 \to \dots$ $p_1 = 95/(95 + 1.6)=98.3\rightarrow p_2 = 98.3/(98.3 + 1.6)=98.4\rightarrow\dots$ $\lim_{k\rightarrow\infty} p_k(p_{k-1},1.6)$
Використовуючи інформацію про їх поширеність та деякі обґрунтовані оцінки чутливості та специфічності інших досліджень з даної теми, показник PPV виявляється значно нижчим (можливо, до 3%). Найсмішніше, що я б навіть не думав використовувати теорему Байєса, якби вони не намагалися використати її для посилення своєї справи. Очевидно, що це не вийде, зважаючи на поширеність 1,6%.

^{Список літератури

· Barsness, KA, Cha, ES, Bensard, DD, Calkins, CM, Partrick, DA, Karrer, FM, & Strain, JD (2003). Позитивне прогностичне значення переломів ребер як показник не випадкової травми у дітей. Журнал травм, травм, інфекцій та критичної допомоги, 54 (6), 1107–1110.

· Elston, RC, і Johnson, WD (1994). Основи біостатистики (2-е видання). Філадельфія: Компанія FA Davis.

· Річчі, LR (2004). Листи до редакції. Журнал травм-травм, інфекцій та критичної допомоги, 56 (3), 721.}

— Нік Стаунер
джерело