Вираз закритої форми для розподілу зразка куртозу розподілу Гаусса

Чи існує вираз із закритою формою для розподілу зразкового куртозу даних, вибірених із розподілу Гаусса? тобто

$P(\hat{K}<a)$ де - зразок куртозу.$\hat{K}$

Точний розподіл вибірки складно отримати; з'явилися перші кілька моментів (починаючи з 1929 року), різні наближення (починаючи з початку 1960-х років) та таблиці, часто засновані на моделюванні (починаючи з 1960-х років).

Щоб бути більш конкретним:

Фішер (1929) наводить моменти розподілу вибірки косості та куртозу у нормальних зразках, а Пірсон (1930) (також) дає перші чотири моменти розподілу вибірки косості та куртозу та пропонує випробування на їх основі.

Так, наприклад :$^*$

$E(b_2)=\frac{3(n-1)}{n+1}$

$\text{Var}(b_2)=\frac{24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^2(n+3)(n+5)}$

Косою є$b_2$$\frac{216}{n}(1-\frac{29}{n}+\frac{519}{n^2}-\frac{7637}{n^3}+\ldots)$

Надлишок ексцес є .$b_2$$\frac{540}{n}-\frac{20196}{n^2}+\frac{470412}{n^3}+\ldots$

* Остерігайтеся - значення моментів і так далі залежать від точного визначення використовуваного зразка куртозу. Якщо ви бачите іншу формулу для або , наприклад, це, як правило, відбувається через дещо інше визначення зразкового куртозу.$E(b_2)$$\text{Var}(b_2)$

У цьому випадку наведені вище формули повинні застосовуватися до .$b_2=n\frac{\sum_i (X_i-\bar X)^4}{(\sum_i (X_i-\bar X)^2)^2}$

Пірсон (1963) обговорює наближення розподілу куртозу в нормальних зразках за типом Пірсона IV або розподілом Джонсона (без сумніву, причина, що перші чотири моменти були дані на три десятиліття раніше, була значною мірою для використання сімейства Пірсонів) .$S_U$

Пірсон (1965) наводить таблиці для відсотків куртозу для деяких значень .$n$

D'Agostino і Tietjen (1971) дають більш обширні таблиці відсотків для куртозу.

Д'Агостіно та Пірсон (1973) дають графіки відсоткових точок куртозу, які знову охоплюють більш широкий спектр випадків.

Фішер, Р.А. (1929),
"Моменти та моменти продукту розподілу проб",
Матеріали Лондонського математичного товариства , серія 2, 30: 199-238.

Пірсон, Е.С., (1930)
"Подальший розвиток тестів на нормальність",
Біометріка , 22 (1-2), 239-249.

Пірсон, Е.С. (1963)
"Деякі проблеми, що виникають при наближенні до розподілів ймовірностей, використовуючи моменти",
Biometrika , 50 , 95-112

Пірсон, Е.С. (1965)
"Таблиці процентних пунктів і у звичайних зразках: округлення", Біометріка , 52 , 282-285$\sqrt{b_1}$$b_2$

D'Agostino, RB і Tietjen, GL (1971),
"Точки ймовірності моделювання для малих зразків", Biometrika , 58 , 669-672.$b_2$

Д'Агостіно, Р.Б. та Пірсон, Е.С. (1973),
"Тести на відхід від нормальності. Емпіричні результати розподілу та ," Біометріка , 60 , 613-622.$b_2$$\sqrt{b_1}$

Куртоз зразка з нормальної вибірки приблизно розподіляється як нульове середнє нормальне з дисперсією , де розмір вибірки (природно, чим більший тим краще наближення. Складніші вирази для дисперсії можуть бути знайдено на сторінці вікіпедії ). Для гауссових зразків невеликих розмірів (<40) у цій роботі були отримані відсотки : Lacher, DA (1989). Розподіл проб косості та куртозу. Клінічна хімія, 35 (2), 330-331.$\approx 24/n$$n$$n$