Скільки наклейок мені потрібно, щоб виконати свій альбом FIFA Panini?

Я граю в Інтернет-альбомі наклейок FIFA Panini , який є Інтернет-адаптацією класичних альбомів Panini, які зазвичай публікуються для футбольного кубка світу, чемпіонату Європи та, можливо, інших турнірів.

В альбомі розміщено 424 різних наклейки. Мета гри - зібрати всіх 424. Наліпки поставляються в 5 пачок, які можна отримати за кодами, знайденими в Інтернеті (або, у випадку класичного друкованого альбому, придбаного у вашому місцевому газетному кіоску).

Я роблю такі припущення:

Всі наклейки публікуються в однаковій кількості.
Одна упаковка наклейок не містить дублікатів.

Як я можу дізнатися, скільки пачок наклейок потрібно придбати, щоб бути впевненим (скажімо, 90%), що у мене є всі 424 унікальних наклейки?

probability coupon-collector-problem

— Відар С. Рамдал
джерело

Ряд розумінь можна отримати, прочитавши інші питання, пов'язані з проблемою збору талонів .

— Glen_b -Встановіть Моніку

Вам потрібно 700 пачок; тоді шанс придбати всі 424 наклейки дорівнює 90,0024%. 761 потрібні, щоб довести шанс до 95%, а 898 - на 99%. (В середньому для завершення набору потрібно майже 560 пачок. Навряд чи (менше одного разу на тисячу випадків) знадобиться менше

— 352.

Я не впевнений, що можна зробити перше припущення. "Синія", як правило, рідше.

— Джеймс

Гм, з того, що я міг прочитати з документа, опублікованого Asuranceturix, вони довели, що суттєвої різниці немає.

— Відар С. Рамдал

@ VidarS.Ramdal я стою виправлений.

— Джеймс

Відповіді:

Це прекрасна проблема колекціонерів купонів, яка має невеликий поворот від того, що наклейки поставляються в 5 пачок.

Якщо наклейки купувались індивідуально, результат відомий, як ви бачите тут .

Всі оцінки верхньої межі на 90% для наклейок, які купуються індивідуально, також є верхньою межею для проблеми з пачкою з 5, але менш близькою верхньою межею.

Я думаю, що отримати кращу верхню межу на 90%, використовуючи пакет із 5 залежностей, буде набагато складніше і не дасть вам набагато кращого результату.

Отже, використовуючи хвостову оцінку з і , ви отримаєте хорошу відповідь. $P[T>\beta n \log n] \leq n^{-\beta+1}$ $n=424$ $n^{-\beta+1} = 0.1$

Редагувати :

У статті "Проблема колекціонера з груповими малюнками" (Вольфганг Штадже), посилання на статтю, принесену компанією Assuranceturix, представлено точне аналітичне рішення проблеми колекціонера купонів із "пакетами наклейок".

Перш ніж писати теорему, деякі визначення позначень: - це сукупність усіх можливих наклейок, . - це підмножина, яка вас цікавить (в ОП, ), а . Ми будемо малювати, із заміною, випадкових підмножин різних наклейок. - це кількість елементів що з'являються принаймні в одній з цих підмножин. $S$ $s = |S|$ $A \subset S$ $A = S$ $l = |A|$ $k$ $m$ $X_{k}(A)$ $A$

Теорема говорить, що:

П (Х_{к} (А) = н) = (\binom{л}{н}) \sum_{j = 0}^{н} (- 1)^{j} (\binom{н}{j}) [(\binom{с + н - л - j}{м}) / (\binom{с}{м})]^{к}

$P(X_{k}(A) = n) = {l \choose n} \sum_{j=0}^{n}(-1)^j {n \choose j}[{s+n-l-j \choose m}/{s \choose m}]^k$

Отже, для ОП маємо і . Я робив кілька спроб зі значеннями поблизу оцінки для проблеми класичного збирача купонів (729 пачок), і я отримав вірогідність 90,02% для k дорівнює 700 . $l=s=n=424$ $m=5$ $k$

Так було не так далеко від верхньої межі :)

— Юндіяй
джерело

І ця хороша відповідь би?

— ziggystar

Близько 3642 випадкових наклейок. Тож верхня межа для "пакета 5 проблем" була б чимось меншою, ніж 729 пачок.

— Jundiaius

Днями я натрапив на документ, який стосується близько пов'язаного питання:

http://www.unige.ch/math/folks/velenik/Vulg/Paninimania.pdf

Якщо я це правильно зрозумів, очікувана кількість пачок, які вам потрібно було б придбати:

$\binom{424}{5}\sum_{j=1}^{424}\left(-1\right)^{j+1}\frac{\binom{424}{j}}{\binom{424}{5}-\binom{424-j}{5}}$

Однак, як зазначає eqperes у коментарях, конкретне питання, яке задає ОП, детально висвітлюється в іншій статті, яка не є відкритим доступом.

Їх остаточний висновок пропонує наступну стратегію (для альбому з 660 наклейками):

Купіть коробку з 100 пачками по 5 наклейок (500 наклейок, гарантовано всі)
Купіть ще 40 пачок із 5 наклейками та поміняйте дублікати, поки у вас не буде щонайменше 50 пропущених наклейок.
Придбайте інші наклейки безпосередньо у Panini (ці коштують приблизно в 1,5 рази більше).

Це загалом 140 пачок + до 15 додаткових пакетів вартістю наклейок (за вартістю), придбаних цільовим способом, що еквівалентно щонайменше 155 пачок .

— Asuranceturix
джерело

Чудово! Здається, що головний аргумент їх результатів був би у статті "Проблема колекціонера з груповими малюнками" , яка, на жаль, не знаходиться у відкритому доступі.

— Jundiaius

Ха-ха, це чудово! Вони також детально розглядають, як заміна впливає на результат (про що я не пішов). Дуже цікаво, дякую!

— Vidar S. Ramdal

Чи можете ви підсумувати вирішення проблеми ОП, наданої документом? Іноді посилання закінчуються, і тоді ця відповідь стане менш корисною.

— Енді

@Andy: Я відредагував відповідь, щоб вирішити вашу проблему, але це не зовсім відповідь на початкове запитання. На жаль, оригінальний папір, який дає таку відповідь, для мене занадто важкий для читання, вибачте.

— Asuranceturix

Я сумніваюсь щодо коробки з 100 пачок, що містять лише чіткі наклейки. Це здається, що це призведе до величезних і непотрібних виробничих ускладнень за невелику користь.

— jwg