Розуміння форми та обчислення смуг довіри в лінійній регресії

Я намагаюся зрозуміти походження вигнутої форми довірчих смуг, пов'язаних з лінійною регресією OLS, і як це стосується довірчих інтервалів параметрів регресії (нахилу та перехоплення), наприклад (за допомогою R):

require(visreg)
fit <- lm(Ozone ~ Solar.R,data=airquality)
visreg(fit)

Виявляється, смуга пов'язана з межами ліній, обчислених з перехопленням 2,5% та нахилом 97,5%, а також з перехопленням 97,5% та нахилом 2,5% (хоча і не зовсім):

xnew <- seq(0,400)
int <- confint(fit)
lines(xnew, (int[1,2]+int[2,1]*xnew))
lines(xnew, (int[1,1]+int[2,2]*xnew))

Я не розумію, це дві речі:

1. Що з комбінацією 2,5% нахилу та 2,5% перехоплення, а також 97,5% нахилу та 97,5% перехоплення? Вони дають лінії, які чітко знаходяться поза смугою, накресленою вище. Можливо, я не розумію значення інтервалу довіри, але якщо в 95% випадків мої оцінки знаходяться в довірчому інтервалі, це здається можливим результатом?
2. Що визначає мінімальну відстань між верхньою та нижньою межею (тобто близькою до точки, де перехрещуються два рядки, додані вище)?

Я думаю, що обидва питання виникають, тому що я не знаю / не розумію, як насправді обчислюються ці смуги.

Як я можу обчислити верхню та нижню межі, використовуючи довірчі інтервали параметрів регресії (не покладаючись на прогноз () або подібну функцію, тобто вручну)? Я намагався розшифрувати функцію predict.lm в R, але кодування поза мною. Буду вдячний за будь-які вказівки щодо відповідної літератури чи пояснень, підходящих для початківців статистики.

Спасибі.

$X$$s_{\hat{Y}_{X}}$

$s_{\hat{Y}_{X}} = s_{Y|X}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{\left(X-\bar{X}\right)^{2}}{\sum_{i=1}^{n}{\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}}}$

$s_{Y|X}$

$s_{Y|X} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}{\left(Y_{i}-\hat{Y}\right)^{2}}}{n-2}}$

$\hat{Y} \pm t_{\nu=n-2, \alpha/2}s_{\hat{Y}}$

$Y$$X$

$\hat{\beta}$$\hat{\alpha}$

Приємне запитання. Важливо зрозуміти ці поняття, і вони не є простими.

$\bar y$$\bar y$$\bar y$

Коли ми комбінуємо всі довірчі інтервали, для кожного можливого х це дає нам сірі смуги, які ви бачите у висновку.

Це функціонально означає, що ми на 95% впевнені, що справжня лінія регресії лежить десь у цій сірій зоні.

Оскільки смуги довіри обчислюються з використанням 95% довірчих інтервалів для кожної окремої точки, це дуже тісно пов'язане з 95% CI для перехоплення. Насправді, при x = 0 краї сірої зони точно збігатимуться з 95% CI для перехоплення, оскільки саме так ми створили смуги довіри. Ось чому лінії, які ви додали вище, потрапляють на край сірої смуги вліво.

Однак схил трохи інший. Це дійсно сприяє встановленню меж, як ви бачили вище, але нахил та перехоплення не можна розділити за лінійною регресією. Отже, ви не можете сказати "добре що, якщо перехоплення було мінімальним за діапазон CI, а нахил також був мінімальним?" Цей рядок генерує точки, які знаходяться далеко за межами наших 95% ІС протягом багатьох х. Це означає, що ми на 95% впевнені, що це не наша справжня лінія регресії.

$\bar x$$s_{{\hat y}_x}$$(x - \bar x)$$x = \bar x$

Тут є гідний Powerpoint, який може допомогти вам уявити деякі з цих речей: http://www.stat.duke.edu/~tjl13/s101/slides/unit6lec3H.pdf