Момент, що генерує функції та перетворення Фур'є?

Чи є функція, що генерує момент, перетворення Фур'є функцією густини ймовірностей?

Іншими словами, чи функція, що генерує момент, просто спектральна роздільна здатність розподілу щільності ймовірності випадкової величини, тобто еквівалентний спосіб характеризувати функцію з точки зору її амплітуди, фази та частоти замість параметра?

Якщо так, то чи можемо ми дати фізичну інтерпретацію цього звіра?

Я запитую, бо в статистичній фізиці функція , що генерує кумулянт , логарифм функції , що генерує момент, є величиною добавки, яка характеризує фізичну систему. Якщо ви думаєте про енергію як випадкову змінну, то її кумулятивна генеруюча функція має дуже інтуїтивну інтерпретацію як поширення енергії по всій системі. Чи існує подібна інтуїтивна інтерпретація для функції, що генерує момент?

Я розумію математичну корисність цього, але це не просто концепція трюку, напевно, за цим концептуально є сенс?

moments mgf cumulants

— болбтеппа
джерело

Я вважаю, що саме характерна функція більше нагадує перетворення Фур'є. Функція генерування моменту - це перетворення Лапласа.

— Placidia

Цікаво: "Перетворення Лапласа пов'язане з перетворенням Фур'є, але, хоча перетворення Фур'є розв'язує функцію або сигнал у його режими вібрації, трансформація Лапласа розв'язує функцію в її моменти" princeton.edu/~achaney/tmve/wiki100k/ docs /… Тоді я думаю, що питання - як, інтуїтивно, перетворення Лапласа розкладає функцію на її моменти, і чи існує це геометричне тлумачення?

— bolbteppa

Це робиться внаслідок розширення експоненціальної функції серії Тейлора.

— Placidia

Тепер все майже має сенс! Однак що саме таке момент, інтуїтивно? Я знаю це: "Загалом моментом можна вважати те, як зразок відходить від середнього значення сигналу - перший момент насправді є середнім, другий - дисперсією тощо". Dsp.stackexchange.com/a/ 11032 Однак, що це означає інтуїтивно? Що таке вибірка при обчисленні 1-го / 2-го / 3-го / 4-го моменту, скажімо, x ^ 2 (приймаючи перетворення Лапласа на x ^ 2)? Чи є геометрична інтерпретація?

— bolbteppa

MGF є

$M_{X}(t)=E\left[ e^{tX} \right]$

$t$ $f(x)$

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x) dx.$

$e^{itx}$ $e^{tx}$

$e^{-tx}$ $e^{tx}$

— Брайан Борчерс
джерело

+1 Як осторонь: характерна функція є тією, яка тісніше пов'язана з перетворенням Фур'є (у цьому випадку, знову ж таки, виникає невелике питання знаку мінус) - cf є

E (e^{i t X})

$E(e^{itX})$ , тоді як - аж до мультиплікативних констант - звичайним буде перетворення Фур'є

E (e^{- i t X})

$E(e^{-itX})$ . Ці з'єднання часом виявляються досить корисними, наприклад, пошук списків корисних властивостей перетворень Фур'є або Лапласа, які зазвичай переносяться безпосередньо, або можливість пошуку обширних таблиць перетворень Фур'є або Лапласа при пошуку MGFs або cfs.

— Glen_b -Встановіть Моніку

І звичайно, найкориснішою властивістю є те, що MGF суми двох незалежних випадкових величин є добутком функцій, що генерують їх момент. Це еквівалентно правилу, що перетворення Фур'є згортки двох функцій є добутком їх перетворень Фур'є.

— Брайан Борчерс