Справедливу монету кидають, поки вперше не підійде голова. Ймовірність того, що це станеться при некиданому чисенні числа, є?

Справедливу монету кидають, поки вперше не підійде голова. Ймовірність того, що це станеться при некиданому чисенні числа, є? Як я підходжу до цієї проблеми?

Складіть ймовірність того, що монета вперше підіймає голови на викидання 1, 3, 5 ...

$p_o = 1/2 + 1/2^3 + 1/2^5 + ...$

• термін досить очевидно, це ймовірність того , що перший кидок , є главами.$1/2$

• Термін - це ймовірність отримання голови вперше на третій жеребкуванні або послідовності TTH. Ця послідовність має ймовірність . 1 / 2 * 1 / 2 * 1 /$1/2^3$$1/2 * 1/2 * 1/2$

• Термін - це ймовірність отримати голови вперше на п'ятому киданні, або послідовність TTTTH. Ця послідовність має ймовірність .$1/2^5$$1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2$

Тепер ми можемо переписати серію вище як

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ...$

Це геометричний ряд, який становить . Найпростіший спосіб показати це на наочному прикладі. Почніть з серії$2/3$

$p = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...$

Це геометричний ряд, який підсумовує .$1$

Якщо підсумовувати лише парні умови цього ряду, ми можемо побачити, що вони дорівнюють .$1/3$

$1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... = 1/3$

Якщо ви викреслите парні умови з повної послідовності, вам залишаються лише непарні умови, які повинні складати до .$2/3$

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ... = 2/3$

Думайте рекурсивно - нехай буде ймовірністю першої голови на непарному , а - ймовірність першої голови при парному киданні. Тепер , і ми також маємо, що дорівнює ймовірності першого підкидання хвостів разів . Таким чином ; ; .р е р про + р е = 1 р е р про р е = 1 / 2 ⋅ р про р про + 1 / 2 ⋅ р про = 1 р про = 2 /$p_o$$p_e$$p_o+p_e=1$$p_e$$p_o$$p_e = 1/2\cdot p_o$$p_o+1/2\cdot p_o = 1$$p_o = 2/3$