Різниця між серіями з дрейфом і серіями з трендом

Ряд із дрейфом можна моделювати як $y_t = c + \phi y_{t-1} + \varepsilon_t$ де $c$ - дрейф (константа), а $\phi=1$ .

Ряд із трендом можна моделювати як $y_t = c + \delta t + \phi y_{t-1} + \varepsilon_t$ де $c$ - дрейф (константа), $\delta t$ - детермінований часовий тренд і $\phi=1$ .

Обидві серії є $I(1)$ і я думаю, що обидва проявляють все більшу поведінку.

Якщо у мене є нова серія, яка проявляє все більшу поведінку, то як я можу знати, що ця серія - це серія з дрейфом або з тенденцією?

Чи можу я зробити два тести на АПД :

• Тест ADF 1: Нульова гіпотеза - це ряд $I(1)$ з дрейфом
• Тест ADF 2: Нульова гіпотеза - це ряд $I(1)$ з трендом

Але що робити, якщо нульова гіпотеза обох тестів не буде відхилена?

Якщо у мене є нова серія, яка проявляє все більшу поведінку, як я можу знати, що ця серія - це серія з дрейфом або з трендом?

$\phi=1$$y_t$

Щоб побачити, що я маю на увазі, ви можете змоделювати та побудувати деякі серії із програмним забезпеченням R, як показано нижче.

Моделюйте випадкову прогулянку:

n   <- 150
eps <- rnorm(n)
x0  <- rep(0, n)
for(i in seq.int(2, n)){
  x0[i] <- x0[i-1] + eps[i]
}
plot(ts(x0))

Моделюйте випадкову прогулянку дрейфом:

drift <- 2
x1    <- rep(0, n)
for(i in seq.int(2, n)){
  x1[i] <- drift + x1[i-1] + eps[i]
}
plot(ts(x1))

Моделюйте випадкову прогулянку детермінованим трендом:

trend <- seq_len(n)
x2    <- rep(0, n)
for(i in seq.int(2, n)){
  x2[i] <- trend[i] + x2[i-1] + eps[i]
}
plot(ts(x2))

Ви також можете це бачити аналітично. У цьому документі (с.22) отримано вплив детермінованих термінів у моделі із сезонними одиничними коренями. Він написаний іспанською мовою, але ви можете просто дотримуватися похідних кожного рівняння, якщо вам потрібні роз'яснення щодо цього, ви можете надіслати мені електронний лист.

Чи можу я зробити два тести на АПД: тест на АПД 1. Нульова гіпотеза - це ряд I (1) з дрейфовим тестом АПД. 2. Нульова гіпотеза - це серія I (1) з трендом. Але що робити, якщо для обох тестів нульова гіпотеза не відкидається?

Якщо нуль відхилено в обох випадках, то немає доказів, що підтверджують наявність одиничного кореня. У цьому випадку ви можете перевірити значення детермінованих термінів у стаціонарній авторегресивній моделі або в моделі без авторегресивних термінів, якщо немає автокореляції.