Розуміння тесту Chi-квадрата та розподілу Chi-квадрата

Я намагаюся зрозуміти логіку тесту чи-квадрата.

Тест Chi-квадрата - . потім порівнюється з розподілом у квадраті Chi, щоб з'ясувати значення p.для того, щоб відкинути нульову гіпотезу чи ні. : спостереження походять від розподілу, який ми використовували для створення наших очікуваних значень. Наприклад, ми могли б перевірити, чи ймовірність отримання задана як ми очікуємо. Тому ми перевертаємо 100 разів і знаходимо та . Ми хочемо порівняти наші висновки з очікуваними ( ). Ми могли б також використовувати двочленний розподіл, але це не сенс питання ... Питання: $\chi ^2 = \sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$ $\chi ^2$ $H_0$ head $p$ $n_H$ Heads $1-n_H$ tails $100 \cdot p$

Чи можете ви пояснити, чому під нульовою гіпотезою слідує за розподілом чи-квадрата? $\sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$

Все, що я знаю про розподіл Chi-квадрата, - це те, що розподіл chi-квадрата ступеня є сумою стандартного нормального розподілу. $k$ $k$

— Remi.b
джерело

Це не так: це наближення. (Багато) більше про це з'являється в потоці на сайті stats.stackexchange.com/questions/16921/… .

— whuber

Це може виявити інтерес для Карла Пірсона та тестування на чи-квадрат, (Плакет, 1983) {pdf}

— Аврахам

Питання, пов’язані з тим, чому розподіл чі-квадрат використовується для корисності

— Silverfish

Ми могли б також використовувати біноміальне розподіл, але це не питання ...

Тим не менш, це наша відправна точка навіть для вашого актуального питання. Я висвітлю це дещо неофіційно.

Розглянемо з двочленним випадком більш загально:

$Y\sim \text{Bin}(n,p)$

Припустимо, і такі, що добре апроксимується нормою з однаковим середнім значенням і дисперсією (деякі типові вимоги, ніж , не є малим, або що не маленький). $n$ $p$ $Y$ $\min(np,n(1-p))$ $np(1-p)$

Тоді буде приблизно . Тут - кількість успіхів. $(Y-E(Y))^2/\text{Var}(Y)$ $\sim\chi^2_1$ $Y$

Маємо і . $E(Y) = np$ $\text{Var}(Y)=np(1-p)$

(У випадку тестування відоме, а вказано під . Ми не робимо жодної оцінки.) $n$ $p$ $H_0$

Отже буде приблизно . $(Y-np)^2/np(1-p)$ $\sim\chi^2_1$

Зауважимо, що . Також зауважте, що . $(Y-np)^2 = [(n-Y)-n(1-p)]^2$ $\frac{1}{p} + \frac{1}{1-p} = \frac{1}{p(1-p)}$

Отже, $\frac{(Y-np)^2}{np(1-p)} = \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{(Y-np)^2}{n(1-p)}\\ \quad= \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{[(n-Y)-n(1-p)]^2}{n(1-p)} \\ \quad= \frac{(O_S-E_S)^2}{E_S}+\frac{(O_F-E_F)^2}{E_F}$

Що є просто статистикою хі-квадрата для двочленного випадку.

Отже, у цьому випадку статистика хі-квадрата повинна мати розподіл квадрата (приблизно) стандартно-нормальної випадкової величини.

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело