Інтеграція емпіричного CDF

Маю емпіричний розподіл . Я обчислюю це наступним чином $G(x)$

    x <- seq(0, 1000, 0.1)
    g <- ecdf(var1)
    G <- g(x)

Я позначаю , тобто - pdf, а - cdf. $h(x) = dG/dx$ $h$ $G$

Тепер я хочу розв'язати рівняння для верхньої межі інтеграції (скажімо, ), таке, що очікуване значення дорівнює . $a$ $x$ $k$

Тобто, інтегруючи від до , я повинен мати . Я хочу вирішити для . $0$ $b$ $\int xh(x)dx = k$ $b$

Інтегруючи по частинах, я можу переписати рівняння як

, де інтеграл від до ------- (1) $bG(b) - \int_0^b G(x)dx = k$ $0$ $b$

Я думаю, що я можу обчислити інтеграл так

    intgrl <- function(b) {
        z <- seq(0, b, 0.01)
        G <- g(z)
        return(mean(G))
     }

Але коли я намагаюся використовувати цю функцію

    library(rootSolve)
    root <- uniroot.All(fun, c(0, 1000))

де весело eq (1), я отримую таку помилку

    Error in seq.default(0, b, by = 0.01) : 'to' must be of length 1

Я думаю, що проблема полягає в тому, що моя функція intgrlоцінюється за числовим значенням, при цьому uniroot.Allпроходить інтервалc(0,1000)

Як я повинен вирішити для в цій ситуації в R? $b$

r integral ecdf

— user46768
джерело

Нехай відсортовані дані будуть . Щоб зрозуміти емпіричний CDF , розглянемо одне зі значень --let, називаємо його - і припустимо, що деяке число з менше, ніж а з дорівнює . Виберіть інтервал у якому з усіх можливих значень даних лише $x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n$ $G$ $x_i$ $\gamma$ $k$ $x_i$ $\gamma$ $t \ge 1$ $x_i$ $\gamma$ $[\alpha, \beta]$ $\gamma$ з'являється. Тоді, за визначенням, у цьому інтервалі має постійне значення для чисел, менших від і переходить до постійного значення для чисел, більших за . $G$ $k/n$ $\gamma$ $(k+t)/n$ $\gamma$

ECDF

Розглянемо внесок у з інтервалу . Хоча не є функцією - це точкова міра розміру при - інтеграл визначається за допомогою інтеграції частин для перетворення його в інтеграл чесного доброго. Зробимо це через інтервал : $\int_0^b x h(x) dx$ $[\alpha,\beta]$ $h$ $t/n$ $\gamma$ $[\alpha,\beta]$

\int_{α}^{β} х год (х) г х = (х Г (х)) |_{α}^{β} - \int_{α}^{β} Г (х) г х = (β Г (β) - α Г (α)) - \int_{α}^{β} Г (х) г х .

$\int_\alpha^\beta x h(x) dx = \left(x G(x)\right)\vert_\alpha^\beta - \int_\alpha^\beta G(x) dx = \left(\beta G(\beta) - \alpha G(\alpha)\right) -\int_\alpha^\beta G(x) dx.$

Новий інтегранд, хоча і розривний при , є інтегральним . Його значення легко знайти, розбиваючи область інтеграції в частини, що передують і слідуючи за стрибком у : $\gamma$ $G$

\int_{α}^{β} Г (х) г х = \int_{α}^{γ} Г (α) г х + \int_{γ}^{β} Г (β) г х = (γ - α) Г (α) + (β - γ) Г (β) .

$\int_\alpha^\beta G(x)dx = \int_\alpha^\gamma G(\alpha) dx + \int_\gamma^\beta G(\beta) dx = (\gamma-\alpha)G(\alpha) + (\beta-\gamma)G(\beta).$

Підставляючи це до вищесказаного і згадуючи виходить $G(\alpha)=k/n, G(\beta)=(k+t)/n$

\int_{α}^{β} х год (х) г х = (β Г (β) - α Г (α)) - ((γ - α) Г (α) + (β - γ) Г (β)) = γ \frac{т}{н} .

$\int_\alpha^\beta x h(x) dx = \left(\beta G(\beta) - \alpha G(\alpha)\right) - \left((\gamma-\alpha)G(\alpha) + (\beta-\gamma)G(\beta)\right) = \gamma\frac{t}{n}.$

Іншими словами, цей інтеграл помножує розташування (вздовж осі ) кожного стрибка на розмір цього стрибка. Розмір стрибка становить $X$

\frac{т}{н} = \frac{1}{н} + \dots + \frac{1}{н}

$\frac{t}{n} = \frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{n}$

з одним доданком для кожного зі значень даних, що дорівнює . Якщо додати внесок від усіх таких стрибків показує $\gamma$ $G$

\int_{0}^{б} х год (х) г х = \sum_{i : 0 \leq х_{i} \leq б} (х_{i} \frac{1}{н}) = \frac{1}{н} \sum_{х_{i} \leq б} х_{i} .

$\int_0^b x h(x) dx = \sum_{i:\, 0 \le x_i \le b} \left(x_i\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n}\sum_{x_i\le b}x_i.$

Ми можемо назвати це "частковою середньою", бачачи, що воно дорівнює разів частковою сумою. (Зверніть увагу, що це не очікування. Це може бути пов'язано з очікуванням версії базового розподілу, яка врізана в інтервал : ви повинні замінити коефіцієнт на де - кількість значень даних у межах .) $1/n$ $[0,b]$ $1/n$ $1/m$ $m$ $[0,b]$

Давши , ви хочете знайти для якого $k$ $b$ $\frac{1}{n}\sum_{x_i\le b}x_i = k.$ $k$ $j$

\frac{1}{н} \sum_{i = 1}^{j - 1} х_{i} \leq к < \frac{1}{н} \sum_{i = 1}^{j} х_{i},

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{j-1} x_i \le k \lt \frac{1}{n}\sum_{i=1}^j x_i,$

$b$ $[x_{j-1}, x_j)$ $b$

Rвиконує обчислення часткової суми cumsumі знаходить, де воно перетинає будь-яке задане значення, використовуючи whichсімейство пошукових запитів, як у:

set.seed(17)
k <- 0.1
var1 <- round(rgamma(10, 1), 2)
x <- sort(var1)
x.partial <- cumsum(x) / length(x)
i <- which.max(x.partial > k)
cat("Upper limit lies between", x[i-1], "and", x[i])

Вихід у цьому прикладі даних, отриманих із експоненціального розподілу, є

Верхня межа лежить між 0,39 і 0,57

$0.1 = \int_0^b x \exp(-x)dx,$ $0.531812$

$G$

Фігура ECDF

— дзижчати
джерело

Це дуже чітка і корисна відповідь, тож дякую!

— user46768