Чому завжди використовуються розподіли середнього значення 0 та стандартного відхилення 1?

15

Моя статистика була самоучкою, але багато матеріалу, який я читаю, вказує на набір даних із середнім значенням 0 та стандартним відхиленням 1.

Якщо це так, то:

Чому середнє значення 0 і SD 1 є приємною властивістю?
Чому випадкова величина, проведена з цього зразка, дорівнює 0,5? Шанс намалювати 0,001 такий же, як 0,5, тому це має бути плоский розподіл ...
Коли люди говорять про Z Scores, що вони тут насправді мають на увазі?

probability

— Джек Када
джерело

11

На початку найкориснішою відповіддю, мабуть, є те, що середнє значення 0 та sd 1 є математично зручним. Якщо ви можете розробити ймовірності розподілу із середнім значенням 0 та стандартним відхиленням 1, ви можете їх опрацювати для будь-якого подібного розподілу балів із дуже простим рівнянням.
Я не стежу за цим питанням. Середнє значення 0 і стандартне відхилення 1 зазвичай стосується стандартного нормального розподілу, який часто називають кривою дзвону. Найбільш ймовірне значення - це середнє значення, і воно падає, коли ви віддаляєтеся далі. Якщо у вас по-справжньому плоский розподіл, то значення більше ймовірне, ніж інше. Ваше запитання тут погано сформоване. Ви, можливо, дивились на запитання про монетки? Знайдіть біноміальне розподіл і теорему про центральну межу.
"значить тут"? Де? Проста відповідь для z-балів полягає в тому, що вони оцінюють ваші бали так, як якщо б у вас було середнє значення 0, а стандартне відхилення було 1. Ще одним способом роздумувати над цим є те, що він приймає індивідуальний бал, оскільки кількість стандартних відхилень, що оцінюється від рівня маю на увазі. Рівняння обчислює (оцінка - середнє значення) / стандартне відхилення. Причини, з яких ви це зробите, дуже різноманітні, але одна з них полягає в тому, що в курсах введення статистики у вас є таблиці ймовірностей для різних z-балів (див. Відповідь 1).

Якби ви спочатку шукали z-score, навіть у вікіпедії, ви отримали б досить хороші відповіді.

— Джон
джерело

На 2) Я вважаю, що плутанина - це те, що означає p (X = .01), коли X - неперервна випадкова величина. Інтуїтивно зрозуміло, що ймовірність скрізь дорівнює нулю, оскільки немає шансу X точно .01. Опитуючий повинен переглянути визначення функції густини у безперервному випадку, який визначається як похідна функції накопичувальної щільності.

— Трістан

7

Для початку ми говоримо про звичайний нормальний розподіл, нормальний розподіл із середнім значенням 0 та стандартне відхилення 1. Короткий перелік змінної, яка розподіляється як стандартний нормальний розподіл, - Z.

Ось мої відповіді на ваші запитання.

(1) Я думаю, що є дві ключові причини, чому стандартні нормальні розподіли привабливі. По-перше, будь-яка нормально розподілена змінна може бути перетворена або перетворена на стандартну нормальну, віднімаючи її середнє значення від кожного спостереження, перш ніж ділити кожне спостереження на стандартне відхилення. Це називається Z-перетворенням або створенням Z-балів. Це дуже зручно, особливо в дні перед комп'ютерами.

\begin{aligned} \frac{(х_{i} - \bar{х})}{σ_{х}} & = Z \\ \frac{(75 - 65.6)}{10.2} & = 0,9215 \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{(x_i - \bar x)}{\sigma_x} &= Z \\ \frac{(75 - 65.6)}{10.2} &= 0.9215 \end{aligned}$

Друга причина, чому стандартний нормальний розподіл використовується часто, пов'язана з інтерпретацією, полягає в Z-балах. Кожне "спостереження" у змінній, трансформованої Z, - це скільки стандартних відхилень від початкового спостереження, яке не трансформується, від середнього. Це особливо зручно для стандартизованих тестів, коли сирі або абсолютні показники менш важливі, ніж відносні показники.

(2) Я не слідкую за вами тут. Думаю, вас можуть збентежити, що ми маємо на увазі під кумулятивною функцією розподілу. Зауважте, що очікуване значення стандартного нормального розподілу дорівнює 0, і це значення відповідає значенню .5 для пов'язаної функції кумулятивного розподілу.

\begin{aligned} \frac{(х_{i} - \bar{х})}{σ_{х}} & = Z \\ \frac{(75 - 65.6)}{10.2} & = 0,9215 \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{(x_i - \bar x)}{\sigma_x} &= Z \\ \frac{(75 - 65.6)}{10.2} &= 0.9215 \end{aligned}$

— Грем Куксон
джерело

1

Оскільки ви отримали чудові пояснення від Грем і Джона, я просто збираюся відповісти на ваше останнє запитання:

Коли люди говорять про Z Scores, що вони тут насправді мають на увазі?

$\mu$ $\sigma$

Отже: (65-80) / 5 = -3

Можна сказати, що z-оцінка для 65-го класу становить -3 ; або іншими словами 3 стандартне відхилення зліва.

— adhg
джерело