Так, матриця коваріації всіх змінних - пояснювальна та відповідь - містить інформацію, необхідну для пошуку всіх коефіцієнтів, за умови, що в модель включений переривний (постійний) термін. (Хоча коваріанці не дають ніякої інформації про постійний термін, це можна знайти із засобів даних.)
Аналіз
Нехай дані для пояснювальних змінних бути організовані в вигляді - мірних векторів - стовпців х 1 , х 2 , ... , х р і змінна відгуку бути вектор - стовпець у , вважається реалізація випадкової величини Y . Звичайні оцінки найменших квадратів р коефіцієнтів в моделіnx1,x2,…,xpyYβ^
E(Y)=α+Xβ
виходять при складанні вектори - стовпці X 0 = ( 1 , 1 , ... , 1 ) ' , X 1 , ... , Х р в п × р + 1 масив Х і рішення системи лінійних рівняньp+1X0=(1,1,…,1)′,X1,…,Xpn×p+1X
X′Xβ^=X′y.
Він еквівалентний системі
1nX′Xβ^=1nX′y.
Гауссова ліквідація вирішить цю систему. Це триває приєднанням до матрицю 1p+1×p+1іp+1-вектор11nX′Xp+1вр+1×р+2масивуAі рядки знижують його. 1nX′yp+1×p+2A
Першим кроком буде інспекція . Визначивши це ненульовим, він переходить до віднімання відповідних кратних елементів першого рядуAз решти рядків, щоб нульові записи записати в першому стовпчику. Ці кратні будуть11n(X′X)11=1nX′0X0=1A1nX′0Xi=X¯¯¯¯iAi+1,j+1=X′iXjX¯¯¯¯iX¯¯¯¯jXiXji+1,p+21nX′iy−Xi¯¯¯¯¯¯y¯¯¯, the covariance of Xi with y.
Thus, after the first step of Gaussian elimination the system is reduced to solving
Cβ^=(Cov(Xi,y))′
and obviously--since all the coefficients are covariances--that solution can be found from the covariance matrix of all the variables.
(When C is invertible the solution can be written C−1(Cov(Xi,y))′. The formulas given in the question are special cases of this when p=1 and p=2. Writing out such formulas explicitly will become more and more complex as p grows. Moreover, they are inferior for numerical computation, which is best carried out by solving the system of equations rather than by inverting the matrix C.)
The constant term will be the difference between the mean of y and the mean values predicted from the estimates, Xβ^.
Example
To illustrate, the following R
code creates some data, computes their covariances, and obtains the least squares coefficient estimates solely from that information. It compares them to the estimates obtained from the least-squares estimator lm
.
#
# 1. Generate some data.
#
n <- 10 # Data set size
p <- 2 # Number of regressors
set.seed(17)
z <- matrix(rnorm(n*(p+1)), nrow=n, dimnames=list(NULL, paste0("x", 1:(p+1))))
y <- z[, p+1]
x <- z[, -(p+1), drop=FALSE];
#
# 2. Find the OLS coefficients from the covariances only.
#
a <- cov(x)
b <- cov(x,y)
beta.hat <- solve(a, b)[, 1] # Coefficients from the covariance matrix
#
# 2a. Find the intercept from the means and coefficients.
#
y.bar <- mean(y)
x.bar <- colMeans(x)
intercept <- y.bar - x.bar %*% beta.hat
The output shows agreement between the two methods:
(rbind(`From covariances` = c(`(Intercept)`=intercept, beta.hat),
`From data via OLS` = coef(lm(y ~ x))))
(Intercept) x1 x2
From covariances 0.946155 -0.424551 -1.006675
From data via OLS 0.946155 -0.424551 -1.006675