CDF підняли до влади?

Якщо - це CDF, схоже, що ( ) також є CDF.$F_Z$$F_Z(z)^\alpha$$\alpha \gt 0$

Питання: Це стандартний результат?

З: Чи є хороший спосіб знайти функцію допомогою st , де x \ equiv g (z)$g$$X \equiv g(Z)$$F_X(x) = F_Z(z)^\alpha$$x \equiv g(z)$

В основному, у мене є ще один CDF, $F_Z(z)^\alpha$ . У деякому зменшеному вигляді я хотів би охарактеризувати випадкову змінну, яка виробляє цю CDF.

EDIT: Я був би радий, якби міг отримати аналітичний результат для окремого випадку . Або хоча б знати, що такий результат непереборний.$Z \sim N(0,1)$

Мені подобаються інші відповіді, але ніхто ще не згадав наступні. Подія відбувається тоді і тільки тоді, коли { m a x ( U , V ) ≤ t } , тому якщо U і V незалежні і W = m a x ( U , V ) , то F W ( t ) = F U ( t ) $\{U \leq t,\ V\leq t \}$$\{\mathrm{max}(U,V)\leq t\}$$U$$V$$W = \mathrm{max}(U,V)$ такдля α позитивного цілого числа (наприклад, α = п ) прийняти X = т а х ( Z 1 , . . . Z п ) , де Z «и є IID$F_{W}(t) = F_{U}(t)*F_{V}(t)$$\alpha$$\alpha = n$$X = \mathrm{max}(Z_{1},...Z_{n})$$Z$

Для ми можемо переключитись, щоб отримати F Z = F n X , тому X буде такою випадковою змінною, що макс n незалежних копій має такий самий розподіл, що і Z (і це не було б одним із наших знайомих друзів , в загальному). $\alpha = 1/n$$F_{Z} = F_{X}^n$$X$$n$$Z$

Випадок додатного раціонального числа (скажімо, α = m / n ) випливає з попереднього, оскільки ( F Z ) m / n = ( F 1 / n Z ) m$\alpha$$\alpha = m/n$

$$\left(F_{Z}\right)^{m/n} = \left(F_{Z}^{1/n}\right)^{m}.$$

Для ірраціонального виберіть послідовність позитивних раціоналів a k, що сходяться до α ; тоді послідовність X k (де ми можемо використовувати наші вище прийоми для кожного k ) буде сходитися в розподілі до потрібної $\alpha$$a_{k}$$\alpha$$X_{k}$$k$$X$

Це може бути не характеристикою, яку ви шукаєте, але це, щонайменше, дає певне уявлення про те, як думати про для α, що є приємним. З іншого боку, я не дуже впевнений, наскільки приємніше це може бути насправді: у вас вже є CDF, тому правило ланцюжка дає вам PDF, і ви можете обчислити моменти, поки сонце не зайде ...? Це правда, що більшість Z не матиме X , знайомий для α = $F_{Z}^{\alpha}$$\alpha$$Z$$X$ , але якщо я хотів би пограти з прикладом, щоб шукати щось цікаве, я б спробувавZрівномірно розподілити на одиничний інтервал зF(z)=z,0<z<1.$\alpha = \sqrt{2}$$Z$$F(z) = z$$0<z<1$

---

EDIT: Я написав кілька коментарів у відповіді @JMS, і виникло питання про мою арифметику, тож я випишу, що я мав на увазі, сподіваючись, що це буде більш зрозуміло.

@cardinal правильно у коментарі до відповіді @JMS написав, що проблема спрощується до або в більш загальному випадку, коли Z не обов'язково N ( 0 , 1 ) , мати x = g - 1 ( y ) = F - 1 ( F α ( y ) )

$$g^{-1}(y) = \Phi^{-1}(\Phi^{\alpha}(y)),$$ $Z$$N(0,1)$ $$x = g^{-1}(y) = F^{-1}(F^{\alpha}(y)).$$ Моя думка полягала в тому, що коли має хорошу обернену функцію, ми можемо просто вирішити функцію y = g ( x ) з базовою алгеброю. Я написав у коментарі, що g має бути y = g ( x ) = F - 1 ( F 1 / α ( x ) ) $F$$y = g(x)$$g$ $$y = g(x) = F^{-1}(F^{1/\alpha}(x)).$$

Візьмемо окремий кейс, підключіть речі та подивимось, як це працює. Нехай є (1) розподіл Exp, з КОР F ( х ) = ( 1 - е - х ) , х > 0 , і зворотна CDF F - 1 ( у ) = - пер ( 1 - у ) . Легко підключити все, щоб знайти g ; після закінчення ми отримуємо y = g ( x ) = $X$

$$F(x) = (1 - \mathrm{e}^{-x}),\ x > 0,$$ $$F^{-1}(y) = -\ln(1 - y).$$ $g$ Отже, підсумовуючи, моє твердження полягає в тому, що якщо X ∼ E x p ( 1 ) і якщо ми визначимо Y = - ln ( 1 - ( 1 - e - X) ) 1 / α ) , тоді Y матиме CDF, схожий на F Y ( y ) = $$y = g(x) = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-x})^{1/\alpha} \right)$$ $X \sim \mathrm{Exp}(1)$ $$Y = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-X})^{1/\alpha} \right),$$ $Y$ Це ми можемо довести безпосередньо (подивимось наP(Y≤y)і використаємо алгебру для отримання виразу; на наступному та останньому кроці нам знадобиться інтегральне перетворення ймовірності). Просто у випадку, коли я часто божевільний, я провів кілька моделей, щоб перевірити, чи він працює, ... і це так. Дивіться нижче. Для полегшення коду я використав два факти: Якщо  X ∼ F,  то  U = F ( X ) ∼ U n i f ( 0 , 1 $$F_{Y}(y) = \left( 1 - \mathrm{e}^{-y} \right)^{\alpha}.$$ $P(Y \leq y)$ $$\mbox{If $X \sim F$ then $U = F(X) \sim \mathrm{Unif}(0,1)$.}$$ $$\mbox{If $U \sim \mathrm{Unif}(0,1)$ then $U^{1/\alpha} \sim \mathrm{Beta}(\alpha,1)$.}$$

Сюжет результатів моделювання випливає нижче.

Код R, який використовується для створення графіку (мінус мітки), є

n <- 10000; alpha <- 0.7
z <- rbeta(n, shape1 = alpha, shape2 = 1)
y <- -log(1 - z)
plot(ecdf(y))
f <- function(x) (pexp(x, rate = 1))^alpha
curve(f, add = TRUE, lty = 2, lwd = 2)

Думаю, гарненько виглядає? Можливо, я не збожеволів (цього разу)?

Доказ без слів

$F$$F^\alpha$$\alpha \lt 1$$z$$x = g(z)$

$\alpha>1$

$F_z(z)^\alpha$$1$$0$$F_z$

$F_Z$