Який розподіл різниці двох-т-розподілів

... і чому ?

Припустимо, що , є незалежними випадковими змінними із середнім та дисперсією відповідно. Моя основна книга статистики говорить мені, що розподіл має такі властивості: $X_1$ $X_2$ $\mu_1,\mu_2$ $\sigma^2_1,\sigma^2_2$ $X_1-X_2$

$E(X_1-X_2)=\mu_1-\mu_2$
$Var(X_1-X_2)=\sigma^2_1 +\sigma^2_2$

Скажімо, , - т-розподіли з , ступеня свободи. Який розподіл ? $X_1$ $X_2$ $n_1-1$ $n_2-2$ $X_1-X_2$

Це питання було відредаговано: Первісне запитання було "Які ступеня свободи різниці двох t-розподілів?" . mpiktas вже вказував, що це не має сенсу, оскільки не розподілено t, незалежно від того, наскільки може бути приблизно нормальним (тобто високий df). $X_1-X_2$ $X_1,X_2$

distributions degrees-of-freedom t-distribution

— steffen
джерело

це пов'язане питання, яке може зацікавити.

— mpiktas

Google тест-тест Satterthwaite, t-тест CABF (наближення Кокрана до Беренса-Фішера) та проблема Беренса-Фішера.

— whuber

Для особливого випадку, коли ступені свободи дорівнюють 1 (розподіл Коші), відповідь на початкове запитання - 1. Сума (або різниця) двох незалежних розподілених випадкових змінних Коші - Коші з параметром шкали

, але знову ж таки, Розподіл Коші навіть не має середнього значення.

2

$2$

— NRH

Вам потрібно перевірити розподіл Беренса-Фішера

— Wis

Відповіді:

Сума двох незалежних t-розподілених випадкових величин не t-розподілена. Отже, ви не можете говорити про ступінь свободи цього розподілу, оскільки отриманий розподіл не має жодної міри свободи в тому сенсі, який має t-розподіл.

— mpiktas
джерело

@mpiktas: Німе запитання. Якщо t-розподіл з n-1 df може бути отриманий із суми n нормальних нормальних розподілів (див. Вікіпедія) і заданий df досить високим, щоб t-розподіл наближався до нормального розподілу, не випливає з цього, що сума t-розподілів знову-таки t-розподіл?

— steffen

@mpiktas: А як щодо тестової статистики t-тесту, яка, здається, є похідною від різниці двох t-розподілів?

— steffen

@steffen, ні. Це буде приблизно нормально, оскільки ви додасте дві приблизно нормальних розподілених нормальних змінних. t-розподіл з високим df є приблизно нормальним, але приблизно нормальним не обов'язково t-розподілом з високим df.

— mpiktas

@steffen, t-тестова статистика походить від різниці двох нормальних, а не двох t-розподілів. Зауважимо, що визначення розподілу t - це частка нормального та квадратного кореня хі-квадрата.

— mpiktas

@steffen, я часто кажу своїм студентам, що немає дурних питань, лише дурні люди, які не задають жодних питань. Я не дуже популярний викладач, я мушу додати :)

— mpiktas

Погодьтеся з відповідями вище, різниця двох незалежних t-розподілених випадкових величин не розподілена. Але я хочу додати деякі способи обчислення цього.

Найпростіший спосіб обчислити це - за допомогою методу Монте-Карло. Наприклад, R, ви випадково вибираєте 100000 чисел з першого t розподілу, потім вибираєте випадковим чином ще 100 000 чисел з другого розподілу t. Ви дозволяєте першому набору 100 000 чисел мінус другому набору 100 000 чисел. Отримані 100 000 нових чисел є випадковими вибірками з розподілу різниці між двома розподілами. Ви можете обчислити середнє значення та відхилення, просто використовуючи mean()і var().
1. Це називається розподілом Беренса-Фішера. Ви можете звернутися до сторінки Wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Behrens%E2%80%93Fisher_distribution . CI, даний цим розподілом, називається "довідковий інтервал", це не ІС .
2. Числова інтеграція може працювати. Це продовжується як пункт 2. Ви можете посилатися на Розділ 2.5.2 Байєсового висновку в статистичному аналізі по графі, Джордж Е.П., Тяо, Джордж С. У ньому є детальні кроки інтеграції, і як це можна приблизно оцінити. дистрибуція Берена - Фішера.

— Шицзя Біан
джерело

Мені здається, що розподіл Беренса-Фішера застосовується там, де дисперсія двох t-розподілів не однакова. Чи можна сказати те саме, якщо дисперсія двох розподілів однакова?

— Ian Sudbery

Вибачте, натиснули Enter два рано? Щоб продовжити ... Наприклад, скажімо, у нас є два нормальних розподілу однакової, але невідомої дисперсії, але різних засобів. Ми витягуємо два зразки з кожного з цих розподілів. Різниця засобів між двома вибірками від одного і того ж розподілу буде слідувати t-розподілу, але яким є розподіл різниці різниць.

— Ian Sudbery