Як генерувати дані про виживання із залежними від часу коваріатами за допомогою R

Я хочу генерувати час виживання з пропорційною моделлю небезпеки Кокса, яка містить коефіцієнт, залежний від часу. Модель є

$h(t|X_i) =h_0(t) \exp(\gamma X_i + \alpha m_{i}(t))$

де породжується з двочлена (1,0.5) і . $X_i$ $m_{i}(t)=\beta_0 + \beta_1 X_{i} + \beta_2 X_{i} t$

Справжні значення параметрів використовуються як $\gamma = 1.5, \beta_0 = 0, \beta_1 = -1, \beta_2 = -1.5, h_0(t) = 1$

Для коваріату незалежного від часу (тобто я генерував наступним чином $h(t|X_i) =h_0(t) \exp(\gamma X_i)$

#For time independent case
# h_0(t) = 1
gamma <- -1
u <- runif(n=100,min=0,max=1)
Xi <- rbinom(n=100,size=1,prob=0.5)
T <- -log(u)/exp(gamma*Xi)

Чи хтось, будь ласка, допоможе мені генерувати дані про виживання із змінною за часом коваріату.

r survival cox-model time-varying-covariate

— Шейх
джерело

Яка функція - ? Це безперервно? Порізково-постійною? Можливо, відповідно буде потрібен інший алгоритм.

m_{i} (t)

$m_i(t)$

— tristan

m_{i} (t)

$m_{i}(t)$ - часова залежність, для простоти можна вважати пропорційну залежність від часу.

— Шейх

Я редагував своє запитання, розглядаючи функцію

m_{i} (t)

$m_i(t)$

— Шейх,

як ви виконали код R із наведеного рівняння? означає, що в кожен момент смерті в межах одного і того ж ідентифікатора програма повинна з'ясувати, що таке коваріати для кожного, який або x дорівнює 1, або 0. якщо всі рівні 1 cumsum, небезпека. після цього обчислюють функцію виживання. дозволяє вибрати правильний рядок для кожного предмета.

— Qas Amell

Як зазначає З. Чжан, подивіться цю статтю . Далі ви можете побачити мою відповідь на його запитання, де я показую, як імітувати для тих, хто в групі в Р.

X_{i} = 1

$X_i = 1$

— Бенджамін Кристофферсен

Гаразд з вашого коду R, ви припускаєте експоненціальний розподіл (постійну небезпеку) для базової небезпеки. Отже, ваші функції небезпеки:

h (t ∣ X_{i}) = {\begin{cases} \exp (α β_{0}) & if X_{i} = 0, \\ \exp (γ + α (β_{0} + β_{1} + β_{2} t)) & if X_{i} = 1 . \end{cases}

$h\left(t \mid X_i\right) = \begin{cases} \exp{\left(\alpha \beta_0\right)} & \text{if $X_i = 0$,} \\ \exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1+\beta_2 t\right)\right)} & \text{if $X_i = 1$.} \end{cases}$

Потім ми інтегруємо їх відносно щоб отримати функцію накопичення небезпеки: $t$

\begin{aligned} Λ (t ∣ X_{i}) & = {\begin{cases} t \exp (α β_{0}) & if X_{i} = 0, \\ \int_{0}^{t} \exp (γ + α (β_{0} + β_{1} + β_{2} τ)) d τ & if X_{i} = 1 . \end{cases} \\ = {\begin{cases} t \exp (α β_{0}) & if X_{i} = 0, \\ \exp (γ + α (β_{0} + β_{1})) \frac{1}{α β_{2}} (\exp (α β_{2} t) - 1) & if X_{i} = 1 . \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} \Lambda\left(t\mid X_i\right) &= \begin{cases} t \exp{\left(\alpha \beta_0\right)} & \text{if $X_i=0$,} \\ \int_0^t{\exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1+\beta_2 \tau\right)\right)} \,d\tau} & \text{if $X_i=1$.} \end{cases} \\ &= \begin{cases} t \exp{\left(\alpha \beta_0\right)} & \text{if $X_i=0$,} \\ \exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1\right)\right)} \frac{1}{\alpha\beta_2} \left(\exp\left(\alpha\beta_2 t\right)-1\right) & \text{if $X_i=1$.} \end{cases} \end{align}$

Вони дають нам функції виживання:

\begin{aligned} S (t) & = \exp (- Λ (t)) \\ = {\begin{cases} \exp (- t \exp (α β_{0})) & if X_{i} = 0, \\ \exp (- \exp (γ + α (β_{0} + β_{1})) \frac{1}{α β_{2}} (\exp (α β_{2} t) - 1)) & if X_{i} = 1 . \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} S\left(t\right) &= \exp{\left(-\Lambda\left(t\right)\right)} \\ &= \begin{cases} \exp{\left(-t \exp{\left(\alpha \beta_0\right)}\right)} & \text{if $X_i=0$,} \\ \exp{\left(-\exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1\right)\right)} \frac{1}{\alpha\beta_2} \left(\exp\left(\alpha\beta_2 t\right)-1\right)\right)} & \text{if $X_i=1$.} \end{cases} \end{align}$

Потім ви генеруєте за допомогою вибірки та , замінивши на та переставивши відповідну формулу (на основі ) для імітації . Це має бути проста алгебра, яку ви можете кодувати в R, але, будь ласка, повідомте мене про це, якщо вам потрібна додаткова допомога. $X_i$ $U\sim\mathrm{Uniform\left(0,1\right)}$ $U$ $S\left(t\right)$ $X_i$ $t$

— тристан
джерело

Дуже дякую за алгебру. Я буду кодувати в R і зв'яжусь з вами для подальшої допомоги.

— Шейх

яка ідеальна відповідь, @tristan. У мене було подібне питання і я знайшов вашу відповідь. Просто кльово.

— Сем

@tristan Я трохи розгублений у значенні альфа в першому рівнянні, яке ви даєте, де Xi = 0. Чи не хочете ви трохи розширити це? Дякую.

— Statwonk

@Statwonk випливає з рівняння рівня небезпеки, поданого оригінальним плакатом

— tristan

Вибачте, але я не впевнений, як використовувати функцію S (t) для імітації часу. Я думаю, вам слід обчислити S ^ {- 1}, і ця функція не є тривіальною для випадку X_i = 1.

— Pmc