Яке розподіл відношення двох випадкових величин Пуассона?

У мене є питання щодо випадкових змінних. Припустимо , що у нас є дві випадкові величини і . Скажімо, - Пуассон, розподілений з параметром , а - Пуассон, розподілений з параметром . $X$ $Y$ $X$ $\lambda_1$ $Y$ $\lambda_2$

Коли ви будуєте перелом з і називаєте це випадковою змінною , як це розподіляється і яке значення? Це ? $X/Y$ $Z$ $\lambda_1/\lambda_2$

random-variable poisson-distribution

— MarkDollar
джерело

Мені просто траплялося натрапити на це, шукаючи посилання. Коефіцієнт Пуассона є досить простим для лікарів ( Нельсон, 1970, «Інтервали довіри для співвідношення двох засобів Пуассона та Інтервалів передбачення Пуассона» ) і для байесів (Lindley, 1965). Немає проблем і з нульовими знаменниками!

— Френк Туїл

Оригінальний запитуючий та інші можуть бути зацікавлені зазначити, що

має значення очікування

. В залежності від вашого застосування це може бути більше користі , ніж

. Детальніше дивіться у моєму документі в Журналі аналітичної атомної спектрометрії, 28 , 52, який називається "Статистичне зміщення в ізотопних співвідношеннях" w / DOI: 10.1039 / C2JA10205F.

X / (Y + 1)

$X/(Y+1)$

(λ_{1} / λ_{2}) (1 - e^{- λ_{2}})

$(\lambda_1/\lambda_2) (1-e^{-\lambda_2})$

X / Y

$X/Y$

Це часто зустрічається проблема в астрономії. Рішення Байєса було розроблено Park et al. (2006, Astrophysical Journal, v652, 610-628, Байесова оцінка коефіцієнтів твердості: моделювання та обчислення ). Вони включають фонове зараження в їх лікування.

— користувач78543

З реферату не очевидно, що вони мають справу з питанням ОП. Як ця стаття стосується розподілу відношення двох випадкових змінних Пуассона?

— Енді

ttu-ir.tdl.org/ttu-ir/bitstream/handle/2346/59954/…

— b halvorsen

Відповіді:

Я думаю, у вас виникне проблема з цим. Оскільки змінна Y матиме нулі, X / Y матиме деякі невизначені значення, такі, що ви не отримаєте розподіл.

— рахунок_080
джерело

+1 Правильно. Але (щоб усунути можливу плутанину) проблема полягає не лише в тому, що

може дорівнювати

: це в тому, що він може дорівнювати

з позитивною ймовірністю. (Наприклад, коефіцієнт нормалей має розподіл, навіть якщо знаменник може дорівнювати

) Таким чином,

не визначено з позитивною ймовірністю, що робить його середнє значення (та будь-який інший момент) також невизначеним.

Y

$Y$

0

$0$

0

$0$

0

$0$

X / Y

$X/Y$

— whuber

+1, але в літературі щодо фальшивих частот виявлення люди не мають проблем із

де

- справжні позитивні результати, а

- загальна кількість позитивних результатів :-). За умовою завжди розуміється, що 0 з 0 дорівнює 0.

X / Y

$X/Y$

X

$X$

Y

$Y$

— NRH

@Mark: Напевно, краще поставити це як нове запитання і отримати реальну конкретну інформацію про те, чого ви намагаєтесь досягти.

— bill_080

@NRH У вашому випадку існує сильна залежність

від

. Це повністю змінює речі, адже зараз ймовірність позитивного: нульового співвідношення дорівнює нулю.

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

@whuber, це, звичайно, правильно. Дякуємо, що вказали на це. Я просто думав, що, можливо, існує якась нестабільна умова, щоб зробити проблему значимою. Але з коментаря @ MarkDollar вище здається, що це було не так.

— NRH

Розуміючи, що співвідношення насправді не є чітко визначеним вимірюваним набором, ми переосмислюємо співвідношення як правильно вимірюваний набір де підсумовування слідує до тих пір, поки, аі- незалежні змінні Пуассона. Щільність випливає з теореми Радона-Нікодима.

P [\frac{X}{Y} \leq r] := P [X \leq r Y] = \sum_{y = 0}^{\infty} \sum_{x = 0}^{⌊ r y ⌋} \frac{λ_{2}^{y}}{y!} e^{- λ_{2}} \frac{λ_{1}^{x}}{x!} e^{- λ_{1}}

$\mathbb{P}\left[\frac{X}{Y} \leq r \right] := \mathbb{P}\left[X \leq r Y\right]\\ = \sum_{y = 0}^\infty \sum_{x=0}^{\left\lfloor ry \right\rfloor} \frac{\lambda_{2}^y }{y!}e^{-\lambda_2} \frac{\lambda_{1}^x }{x!}e^{-\lambda_1}$

r > 0

$r > 0$

X

$X$

Y

$Y$

— Аарон Шелдон
джерело

Припустимо, що

походить від нуль-усіченого розподілу Пуассона. Тоді відповідь буде:

Y

$Y$

— Зрив рівноваги