Перетворення даних про пропорції: коли квадратного кореня арцина недостатньо

Чи існує (сильніша?) Альтернатива трансформації кореня квадратного дугу для даних про відсотки / пропорції? У наборі даних, над яким я працюю на даний момент, позначена гетеросцедастичність залишається після того, як я застосую цю трансформацію, тобто графік залишків та встановлених значень все ще є дуже ромбоїдним.

Відредаговано для відповіді на коментарі: дані є інвестиційними рішеннями експериментальних учасників, які можуть інвестувати 0-100% фонду в кратні 10%. Я також переглянув ці дані за допомогою порядкової логістичної регресії, але хотів би побачити, що може отримати справжній glm. Плюс я міг бачити відповідь корисною для подальшої роботи, оскільки квадратний корінь арцина, здається, використовується як рішення, що відповідає моєму розміру, і я не натрапив на альтернативи.

Звичайно. Джон Тукі описує сімейство (що зростає, один на один) перетворень в EDA . Він заснований на таких ідеях:

1. Щоб мати можливість розгинати хвости (у напрямку до 0 і 1), як це керується параметром.

2. Проте, щоб відповідати оригінальним (непреобразованним) значенням ближче до середини ( $1/2$ ), що робить перетворення легше інтерпретувати.

3. Зробити повторний вираз симетричним приблизно $1/2.$ Тобто, якщо $p$ є повторно виражена як $f(p)$ , то $1-p$ буде повторно виражена як $-f(p)$ .

Якщо ви починаєте з будь-яким зростаючим монотонної функцією $g: (0,1) \to \mathbb{R}$ диференційована в $1/2$ ви можете налаштувати його для задоволення другого і третього критерію: просто визначити

Чисельник явно симетричний (критерій $(3)$ ), тому що заміна $p$ на $1-p$ обертає віднімання, тим самим відкидаючи його. Для того, щоб бачити , що $(2)$ виконано, зауважимо , що знаменник є саме фактор потрібно зробити $f^\prime(1/2)=1.$ Нагадаємощо похідна аппроксимирует локальне поведінка функції з лінійною функцією; нахил 1 = 1 : 1 тим самим означає, що f ( p ) ≈ p (плюс константа$1=1:1$$f(p)\approx p$$-1/2$ )коли$p$ досить близько до$1/2.$ Самецьому сенсів якому вихідні значення «відповідають ближче до середини.»

Tukey називає це "складеною" версією $g$ . Його сім'я складається з силових і логарифмічних перетворень $g(p) = p^\lambda$ де при $\lambda=0$ ми вважаємо $g(p) = \log(p)$ .

Давайте розглянемо кілька прикладів. Коли$\lambda = 1/2$ ми отримуємо складений корінь, або "Froot,"$f(p) = \sqrt{1/2}\left(\sqrt{p} - \sqrt{1-p}\right)$. Коли$\lambda = 0$ми маємо складний логарифм, або "flog",$f(p) = (\log(p) - \log(1-p))/4.$ Очевидно, що це просто постійне кратнеперетворенняlogit,$\log(\frac{p}{1-p})$.

На цьому графіку сині ліній відповідають $\lambda=1$ , проміжної червоної лінії $\lambda=1/2$ , і крайньої зеленої лінію $\lambda=0$ . Пунктирною золотою лінією є перетворення дуги, $\arcsin(2p-1)/2 = \arcsin(\sqrt{p}) - \arcsin(\sqrt{1/2})$. "Збіжність" схилів (критерій$(2)$ ) викликає все графіки збігаються поблизу$p=1/2.$

Найбільш корисні значення параметра $\lambda$ лежать між $1$ і $0$ . (Ви можете зробити хвости ще важче з негативними значеннями $\lambda$ , але це використання рідко.) $\lambda=1$ нічого взагалі не робити , окрім центрування значень ( $f(p) = p-1/2$ ). Коли $\lambda$ скорочується до нуля, хвости потягуються далі до $\pm \infty$ . Це задовольняє критерію №1. Таким чином, вибравши відповідне значення $\lambda$ , ви можете контролювати «силу» цього повторного вираження в хвостах.

Одним із способів включення є включення індексованого перетворення. Одним із загальних способів є використання будь-якої симетричної (зворотної) функції кумулятивного розподілу, так що і F ( x ) = 1 - F ( - x ) . Одним із прикладів є стандартний розподіл студентів t з ν ступенем свободи. Параметр v керує тим, як швидко трансформована змінна скидається до нескінченності. Якщо встановити v = 1, то у вас є перетворення арктану:$F(0)=0.5$$F(x)=1-F(-x)$$\nu$$v$$v=1$

Це набагато більш екстремально, ніж дугоподібне, і більш екстремальне, ніж трансформація Logit. Зауважимо, що перетворення logit можна приблизно оцінити, використовуючи t-розподіл з $\nu\approx 8$ . Так якимось чином він забезпечує приблизний зв'язок між logit і probit ( ) перетвореннями, і розширення їх на більш екстремальні перетворення.$\nu=\infty$

Проблема цих перетворень полягає в тому, що вони дають коли спостережувана частка дорівнює 1 або 0 . Тож вам потрібно якось зменшити їх якось - найпростіший спосіб - додати + 1 "успіх" і$\pm\infty$$1$$0$$+1$ "провал".$+1$