Чому розподіл t стає більш нормальним, оскільки розмір вибірки збільшується?

Згідно з Вікіпедією, я розумію, що t-розподіл - це вибіркове розподіл величини t, коли вибірки є спостереженнями з нормально розподіленої сукупності. Однак я не розумію, чому це призводить до того, що форма розподілу t змінюється від жировика до майже абсолютно нормальної.

Я розумію, що якщо ви берете пробу із звичайного розподілу, тоді, якщо ви берете великий зразок, він буде схожий на такий розподіл, але я не розумію, чому він починається з жирної форми, яку він має.

normal-distribution t-distribution

— user1205901 - Відновити Моніку
джерело

Спробую дати зрозуміле пояснення.

T-статистика * має чисельник і знаменник. Наприклад, статистика в одному зразку t-тесту є

\frac{\bar{x} - μ_{0}}{s / \sqrt{n}}

$\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$

* (їх декілька, але, сподіваємось, ця дискусія повинна бути достатньо загальною, щоб висвітлити ті, про кого ви питаєте)

За припущеннями чисельник має нормальний розподіл із середнім значенням 0 та деяким невідомим стандартним відхиленням.

За тим самим набором припущень знаменник - це оцінка стандартного відхилення розподілу чисельника (стандартна помилка статистики на чисельнику). Це незалежно від числівника. Його квадрат є випадковою змінною чи-квадрата, поділеною на її ступінь свободи (яка також є df розподілу t), . $\sigma_\text{numerator}$

Коли ступеня свободи невелика, знаменник має тенденцію бути досить правим. У нього велика ймовірність бути меншою за середню, і порівняно хороший шанс бути зовсім невеликим. У той же час вона також має певний шанс бути набагато, значно більшою, ніж її середня.

За припущенням про нормальність чисельник та знаменник є незалежними. Отже, якщо ми виводимо випадковим чином з розподілу цієї t-статистики, ми маємо нормальне випадкове число, поділене на друге випадкове * обране значення від розподілу правого перекосу, яке в середньому становить близько 1.

* без огляду на звичайний термін

Оскільки це на знаменнику, малі значення при розподілі знаменника дають дуже великі t-значення. Правий косий в знаменнику роблять t-статистику важкохвостим. Правий хвіст розподілу, коли на знаменнику робить t-розподіл більш гострим, ніж нормальний, з тим же стандартним відхиленням, що і t .

Однак, коли ступеня свободи стає великою, розподіл стає набагато більш нормальним і набагато більш "щільним" навколо своєї середньої величини.

введіть тут опис зображення

Як такий, ефект ділення знаменником на форму розподілу чисельника зменшується зі збільшенням ступенів свободи.

Врешті-решт, як може нам сказати теорема Слуцького, ефект знаменника стає більше схожим на ділення на константу і розподіл t-статистики дуже близький до нормального.

Розглядається з точки зору зворотного знаменника

У коментарях Уубер припустив, що дивитись на зворотний знаменник може бути більш ілюмінативно. Тобто, ми можемо записати нашу t-статистику як чисельник (нормальний) разів, зворотний знаменника (правий перекіс).

Наприклад, нашою статистикою з одного зразка-t вище:

\sqrt{n} (\bar{x} - μ_{0}) \cdot 1 / s

${\sqrt{n}(\bar{x}-\mu_0)}\cdot{1/s}$

Тепер розглянемо стандартне відхилення популяції від початкового , . Ми можемо множити і ділити на нього так: $X_i$ $\sigma_x$

\sqrt{n} (\bar{x} - μ_{0}) / σ_{x} \cdot σ_{x} / s

${\sqrt{n}(\bar{x}-\mu_0)/\sigma_x}\cdot{\sigma_x/s}$

Перший термін є нормальним. Другий член (квадратний корінь масштабованої зворотної чи-квадратної випадкової величини) потім масштабує це стандартне значення за величиною, що є більшим або меншим за 1, "поширюючи його".

За припущенням про нормальність, два терміни у творі є незалежними. Отже, якщо ми виводимо випадковим чином з розподілу цієї t-статистики, ми маємо нормальне випадкове число (перший додаток у творі), що кратне другому випадково вибраному значенню (без урахування нормального терміна) від розподілу правого перекосу, який є ' зазвичай 'близько 1.

Коли величина df велика, величина має тенденцію бути дуже близькою до 1, але коли df невелика, вона є досить перекошеною, а розкид - великим, при цьому великий правий хвіст цього коефіцієнта масштабування робить хвіст досить жирним:

введіть тут опис зображення

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

Спасибі! Це багато що уточнило, але я все ще був трохи не впевнений у тому, що "Його квадрат - це випадкова величина чі-квадрат, поділена на ступінь його свободи (яка також є df розподілу t) разів [стандартне відхилення] чисельника ". Ви це згадали лише тому, що це було корисно знати, чи це щось, що має пряме значення для відповіді на моє запитання? Я розумію, що саме розподіл знаменника на відміну від розподілу площі знаменника зображено на вашій фігурі.

— user1205901

Розподіл статистики був би важчим, ніж звичайний, навіть якби він не був конкретно квадратним коренем чі-квадрата на його df; в цьому сенсі відповідь не змінила б прямо, щоб не залишати її. Але принаймні це слугує поясненням того, звідки беруться масштабовані розподіли на діаграмі.

— Glen_b -Встановити Моніку

Я думаю, що цей аналіз може бути трохи більш ілюмінаційним на основі зворотного стандартного відхилення вибірки. Це, в поєднанні з аргументом того, що вибірковий SD не залежить від середньої вибірки (ключова ідея, яка отримала б користь від трохи більше акценту та пояснення, IMHO), допомогла б людям побачити, що середнє значення поділу вибірки на вибірку SD має поширити, що інакше було б нормальним розподілом. (Це, звичайно, було суть відкриття

— Госсетта

@whuber Я додав розділ, який обговорює це з точки зору взаємності, але також зберіг первісну дискусію (мені здається, це більш прямо, але я ціную, що багато людей можуть отримати більше від неї з точки зору взаємності) .

— Додаю

s / \sqrt{n}

$s/\sqrt{n}$

σ / \sqrt{n}

$\sigma/\sqrt{n}$

s / σ

$s/\sigma$

σ / s

$\sigma/s$

σ

$\sigma$

@Glen_b дав вам зрозуміти, чому t статистика виглядає більш нормально, оскільки розмір вибірки збільшується. Зараз я дам вам трохи більш технічне пояснення для випадку, коли ви вже отримали розподіл статистики.

$n-1$ $n$

\frac{{(1 + \frac{x^{2}}{n - 1})}^{- n / 2}}{\sqrt{n - 1} B (\frac{n - 1}{2}, \frac{1}{2})} .

$\frac{\left(1+\frac{x^2}{n-1}\right)^{-n/2}}{\sqrt{n-1} B\left(\frac{n-1}{2},\frac{1}{2}\right)}.$

Це можна показати

\frac{1}{\sqrt{n - 1} B (\frac{n - 1}{2}, \frac{1}{2})} \to \frac{1}{\sqrt{2 π}},

$\frac{1}{\sqrt{n-1} B\left(\frac{n-1}{2},\frac{1}{2}\right)}\rightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi}},$

{(1 + \frac{x^{2}}{n - 1})}^{- n / 2} \to \exp (- x^{2} / 2),

$\left(1+\frac{x^2}{n-1}\right)^{-n/2}\rightarrow \exp(-x^2/2),$

$n\rightarrow \infty$

— Крюгер
джерело

Зближення PDF-файлів, здається, не дуже говорить. Наприклад, ви могли змішати

дистрибутива з PDF пропорційним

ступеню свободи? Хоче знати, чому послідовність "починається з жирної форми, яку вона робить".

1 / n

$1/n$

(1 + (x / n)^{2})^{- 1}

$(1 + (x/n)^2)^{-1}$

t_{n}

$t_n$

— шурхіт

- n

$-n$

n

$n$

Мені просто хотілося поділитися чимось, що допомогло моїй інтуїції як новачка (хоча це менш суворо, ніж інші відповіді).

$Z, Z_1, ..., Z_n$

\frac{Z}{\sqrt{\frac{Z_{1}^{2} + . . . + Z_{n}^{2}}{n}}}

$\frac{Z}{\sqrt{\frac{Z_1^2+...+Z_n^2}{n}}}$

має t-розподіл с $n$

$n$ $1$ $Z$ $n$

$E[Z^2] = 1$ $n$ $Z_i^2$ $n$ $Z_i^2$

$n$ $\frac{Z}{\sqrt{1}} = Z$

— HJ_beginner
джерело