Діапазони довіри для QQ-лінії

Це питання не стосується конкретно R, але я вирішив використовувати його Rдля ілюстрації.

Розглянемо код для створення довірчих смуг навколо (нормальної) qq-лінії:

library(car)
library(MASS)
b0<-lm(deaths~.,data=road)
qqPlot(b0$resid,pch=16,line="robust")

Я шукаю пояснення (або альтернативне посилання на паперовий / онлайн-документ, що пояснює), як будуються ці групи довіри (я бачив посилання на Fox 2002 у довідкових файлах R, але, на жаль, у мене немає цього книга зручна).

Моє запитання буде зроблено більш точним на прикладі. Ось як Rобчислюються ці конкретні ІС (я скоротив / спростив код, який використовується в car::qqPlot)

x<-b0$resid
good<-!is.na(x)
ord<-order(x[good])
ord.x<-x[good][ord]
n<-length(ord.x)
P<-ppoints(n)
z<-qnorm(P)
plot(z,ord.x,type="n")
coef<-coef(rlm(ord.x~z))
a<-coef[1]
b<-coef[2]
abline(a,b,col="red",lwd=2)
conf<-0.95
zz<-qnorm(1-(1-conf)/2)
SE<-(b/dnorm(z))*sqrt(P*(1-P)/n)     #[WHY?]
fit.value<-a+b*z
upper<-fit.value+zz*SE
lower<-fit.value-zz*SE
lines(z,upper,lty=2,lwd=2,col="red")
lines(z,lower,lty=2,lwd=2,col="red")

Питання в тому, яке обґрунтування формули, яка використовується для обчислення цих SE (наприклад, рядок SE<-(b/dnorm(z))*sqrt(P*(1-P)/n)).

FWIW ця формула сильно відрізняється від формули звичайних довірчих смуг, що використовуються в лінійній регресії

confidence-interval linear-model qq-plot

— user603
джерело

f_{X_{(k)}} (x) = \frac{n!}{(k - 1)! (n - k)!} [F_{X} (x)]^{k - 1} [1 - F_{X} (x)]^{n - k} f_{X} (x)

$f_{X_{(k)}}(x) =\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}[F_X(x)]^{k-1}[1-F_X(x)]^{n-k} f_X(x)$

X_{(⌈ n p ⌉)} \sim A N (F^{- 1} (p), \frac{p (1 - p)}{n [f (F^{- 1} (p))]^{2}})

$X_{(\lceil np \rceil)} \sim AN\left(F^{-1}(p),\frac{p(1-p)}{n[f(F^{-1}(p))]^2}\right)$

— Glen_b -Встановити Моніку

X_{(i)}

$X_{(i)}$

S E (X_{(i)}) = \frac{\hat{σ}}{p (z_{i})} \sqrt{\frac{P_{i} (1 - P_{i})}{n}}

$\mathrm{SE}(X_{(i)})=\frac{\hat{\sigma}}{p(z_i)}\sqrt{\frac{P_i(1-P_i)}{n}}$

p (z)

$p(z)$

P (z)

$P(z)$

{\hat{X}}_{(i)} = \hat{μ} + \hat{σ} z_{i}

$\widehat{X}_{(i)}=\hat{\mu}+\hat{\sigma}z_{i}$

{\hat{X}}_{(i)} \pm 2 \times S E (X_{(i)})

$\widehat{X}_{(i)}\pm 2\times \mathrm{SE}(X_{(i)})$

f (F^{- 1} (p))

$f(F^{-1}(p))$

(p (z_{i}) / \hat{σ})

$(p(z_i)/\hat{\sigma})$

f_{X_{(k)}} (x) = \frac{n!}{(k - 1)! (n - k)!} [F_{X} (x)]^{k - 1} [1 - F_{X} (x)]^{n - k} f_{X} (x)

$f_{X_{(k)}}(x) =\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}[F_X(x)]^{k-1}[1-F_X(x)]^{n-k} f_X(x)$

X_{(⌈ n p ⌉)} \sim A N (F^{- 1} (p), \frac{p (1 - p)}{n [f (F^{- 1} (p))]^{2}})

$X_{(\lceil np \rceil)} \sim AN\left(F^{-1}(p),\frac{p(1-p)}{n[f(F^{-1}(p))]^2}\right)$

Як згадує COOLSerdash у коментарях, Джон Фокс [1] пише на сторінках 35-36:

$X_{(i)}$
$S E (X_{(i)}) = \frac{\hat{σ}}{p (z_{i})} \sqrt{\frac{P_{i} (1 - P_{i})}{n}}$ $\mathrm{SE}(X_{(i)})=\frac{\hat{\sigma}}{p(z_i)}\sqrt{\frac{P_i(1-P_i)}{n}}$ $p(z)$ $P(z)$ . The values along the fitted line are given by $\widehat{X}_{(i)}=\hat{\mu}+\hat{\sigma}z_{i}$ . An approximate 95% confidence "envelope" around the fitted line is, therefore, $\widehat{X}_{(i)}\pm 2\times \mathrm{SE}(X_{(i)})$ .

Then we just need to recognize that $f(F^{-1}(p))$ is estimated by $(p(z_i)/\hat{\sigma})$ .

[1] Fox, J. (2008),
Applied Regression Analysis and Generalized Linear Models, 2nd Ed.,
Sage Publications, Inc

— Glen_b -Reinstate Monica
джерело