Яка інтуїція стоїть за незалежністю

18

Я сподівався, що хтось може запропонувати аргумент, що пояснює, чому випадкові змінні і , зі стандартним нормальним розподілом, є статистично незалежними. Доказ цього факту легко випливає з методики MGF, але я вважаю це надзвичайно контрінтуїтивним. $Y_1=X_2-X_1$ $Y_2=X_1+X_2$ $X_i$

Тому я вдячний інтуїції тут, якщо така є.

Спасибі заздалегідь.

EDIT : Підписники не вказують статистику замовлень, а IID-спостереження від стандартного нормального розподілу.

probability self-study mathematical-statistics

— ДжонК
джерело

Що таке "техніка MGF"?

— Амеба каже: Поновіть Моніку

@amoeba Це використання функцій генерування моментів для визначення розподілу випадкової величини. У своєму випадку я маю на увазі теорему про те, що

Y_{1}

$Y_1$ і

Y_{2}

$Y_2$ є незалежними тоді і тільки тоді, коли

M (t_{1}, t_{2}) = M (t_{1}, 0) \times M (0, t_{2})

$M(t_1,t_2)=M(t_1,0) \times M(0,t_2)$ ,

M (t_{1}, t_{2})

$M(t_1,t_2)$ дорівнює

. Виберіть будь-яку іншу техніку, і я впевнений, що ви отримаєте такий же результат.

E (e^{t_{1} Y_{1} + t_{2} Y_{2}})

$E(e^{t_1Y_1+t_2Y_2})$

— JohnK

1

Ви можете ознайомитися з тісно пов’язаною темою на сайті stats.stackexchange.com/questions/71260 .

— whuber

Ви могли б отримати деяку інтуїцію, розглядаючи то , що відбувається з кожним з них , якщо ви додаєте деякі константи, скажімо ,

, для кожного

. А що станеться, якщо помножити кожен

на постійну, скажіть

μ

$\mu$

X

$X$

X

$X$

σ

$\sigma$

— rvl

1

Тісно пов'язані: Посилання на суму та різницю сильно корельованих змінних майже не співвідносяться .

— gung - Відновіть Моніку

22

Це стандартні звичайні розподілені дані: Діаграма розсіяння в першій системі координат Зауважте, що розподіл є циркулярним симетричним.

Коли ви переходите на і , ви ефективно обертаєте та масштабуєте вісь, як це: Ця нова система координат має те саме походження, що і вихідна, і вісь ортогональний. Через симетричність циркуляції змінні досі залишаються незалежними в новій системі координат. $Y_1 = X_2 - X_1$ $Y_2 = X_1 + X_2$ ділянка розсіяння з обертовою системою координат

— dobiwan
джерело

4

Результат застосовується, навіть коли

і

співвідносяться з одиничними нормальними полями. Тож ваше пояснення охоплює лише підзаголовок початкового результату. Однак основна ідея тут - звук.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— Glen_b -Встановіть Моніку

1

@Glen_b, так, ти маєш рацію. Мені хотілося зосередитись на простому випадку, оскільки ДжонК, здається, знає, як довести загальну справу, але не має інтуїтивної нерозуміння.

— dobiwan

7

Результат працює для спільно нормальних (тобто з кореляцією, ), із загальною . $(X_1,X_2)$ $-1<\rho<1$ $\sigma$

Якщо ви знаєте пару основних результатів, це приблизно все, що вам потрібно:

$\quad\quad\quad$ введіть тут опис зображення

Підхід Віравана по суті чудовий - результат лише більш загальний, ніж справа, що розглядається там.

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

3

+1, щоб зменшити бажаний результат до найважливіших. Додам, що для більш загального випадку нормальності стику з неоднаковими відхиленнями обертання осей на

замість

θ = \frac{1}{2} арктан (\frac{2 ρ \cdot σ_{1} σ_{2}}{σ_{1}^{2} - σ_{2}^{2}})

$\theta = \frac{1}{2}\arctan\left ( \frac{2\rho\cdot\sigma_1\sigma_2}{\sigma_1^2 - \sigma_2^2}\right )$

мається на увазі в

виробляє незалежні нормальні випадкові величини.

\pm \frac{π}{4}

$\pm \frac{\pi}{4}$

(X_{1}, X_{2}) \to (X_{1} + X_{2} . X_{1} - X_{2})

$(X_1,X_2) \to (X_1+X_2. X_1-X_2)$

— Діліп Сарват

6

Результат ви стверджуєте , щоб бути правда не вірно в загальному, навіть не для випадку , коли все , що відомо, що і є нормальними випадковими величинами з однаковою дисперсією, але результат робить захоплення для звичайної інтерпретації умови ви заявили пізніше: $X_1$ $X_2$

Підписники не вказують статистику замовлень, а спостереження від стандартного нормального розподілу.

Звичайна інтерпретація останніх кількох слів у цьому твердженні, звичайно, полягає в тому, що і є незалежними (нормальними) випадковими змінними, а отже, спільно нормальними випадковими змінними. $X_1$ $X_2$

$X_1+X_2$ $X_1-X_2$ $X_1$ $X_2$ $\pm \frac{\pi}{4}$ $(X_1,X_2)\to (X_1+X_2, X_1-X_2)$

$X$ $Y$

$X$ $Y$ $X+Y$ $X-Y$

\begin{aligned} ков (Х + Y, Х - Y) & = ков (Х, Х) - ков (Х, Y) + ков (Y, Х) - ков (Y, Y) \\ = вар (Х) - ков (Х, Y) + ков (Х, Y) - вар (Y) \\ = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{cov}(X+Y, X-Y) &= \operatorname{cov}(X,X) - \operatorname{cov}(X,Y) + \operatorname{cov}(Y,X) - \operatorname{cov}(Y,Y)\\ &= \operatorname{var}(X) - \operatorname{cov}(X,Y) + \operatorname{cov}(X,Y) - \operatorname{var}(Y)\\ &= 0. \end{align}$

cov (X, X)

$\operatorname{cov}(X,X)$

var (X)

$\operatorname{var}(X)$

X

$X$

Y

$Y$

cov (Y, X) = cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(Y,X) = \operatorname{cov}(X,Y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

X + Y

$X+Y$

X - Y

$X-Y$

0

$0$

X + Y

$X+Y$

X - Y

$X-Y$

— Діліп Сарват
джерело

2

$X_1,X_2$ $Y_1$ $Y_2$ $0$ $Y_1,Y_2$

Умовна середня

$X_1+X_2=y$ $X_1=x, X_2 = y-x$ $X_1 = y-x, X_2=x$

$X_1$ $X_2$ $X_1+X_2$ $X_1 \mid Y_2 = y$ $X_2 \mid Y_2 = y$

Е (Y_{1} ∣ Y_{2} = у) = Е (Х_{1} - Х_{2} ∣ Х_{1} + Х_{2} = у) = Е (Х_{1} ∣ Х_{1} + Х_{2} = у) - Е (Х_{2} ∣ Х_{1} + Х_{2} = у) = 0.

$\begin{equation} \mathbb{E}(Y_1 \mid Y_2 = y) = \mathbb{E}(X_1 - X_2 \mid X_1+X_2 = y) \\ = \mathbb{E}(X_1 \mid X_1+X_2 = y) - \mathbb{E}(X_2 \mid X_1+X_2 = y)= 0. \end{equation}$

(Caveat: Я не розглядав можливість того, що умовне середнє може не існувати.)

Постійна умовна середня означає нульову кореляцію / коваріацію

$Y_1$ $Y_2$ $Y_2$ $Y_1$ $Y_1$ $Y_2$

С о v (Y_{1}, Y_{2}) = Е [(Y_{1} - Е (Y_{1})) (Y_{2} - Е (Y_{2}))]

$\begin{equation} Cov(Y_1,Y_2) = \mathbb{E}\left[\left(Y_1 - \mathbb{E}(Y_1)\right)\left(Y_2 -\mathbb{E}(Y_2) \right)\right] \end{equation}$

Y_{2}

$Y_2$

= Е [Е [(Y_{1} - Е (Y_{1})) (Y_{2} - Е (Y_{2})) ∣ Y_{2}]] = Е [(Y_{2} - Е (Y_{2})) Е [Y_{1} - Е (Y_{1}) ∣ Y_{2}]] .

$\begin{equation} = \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[\left(Y_1 - \mathbb{E}(Y_1)\right)\left(Y_2 -\mathbb{E}(Y_2) \right) \mid Y_2\right]\right] = \mathbb{E}\left[(Y_2 - \mathbb{E}(Y_2))\mathbb{E}\left[Y_1 - \mathbb{E}(Y_1) \mid Y_2\right] \right]. \end{equation}$

Y_{2}

$Y_2$

= Е [(Y_{2} - Е (Y_{2})) Е [Y_{1} - Е (Y_{1})]]

$\begin{equation} = \mathbb{E}\left[(Y_2 - \mathbb{E}(Y_2))\mathbb{E}\left[Y_1-\mathbb{E}(Y_1)\right]\right] \end{equation}$

0

$0$

= Е [(Y_{2} - Е (Y_{2})) \times 0] = 0.

$\begin{equation} = \mathbb{E}\left[(Y_2 - \mathbb{E}(Y_2))\times0\right] = 0. \end{equation}$

Незалежність

$X_1,X_2$ $Y_1$ $Y_2$ $X_1,X_2$ $Y_1,Y_2$

— Юхо Коккала
джерело