Як розвинути інтуїцію за умовною ймовірністю?

У відео лекціях з Гарвардської статистики 110: Курс ймовірності, який можна знайти на iTunes та YouTube, я зіткнувся з цією проблемою. Я спробував узагальнити це тут:

Припустимо, нам подають випадкову руку з двома картками зі стандартної колоди.

1. Яка ймовірність того, що обидві карти є тузами, враховуючи, що у нас є хоча б один туз?

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces, have\ ace)}{P(have\ ace)}$$

Оскільки маючи принаймні один туз, мається на увазі, якщо у вас є обидва тузи, перетин можна зменшити до всього $P(both\ aces)$

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces)}{P(have\ ace)}$$

Це тоді просто

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{4C2\ /\ 52C2}{1-48C2\ /\ 52C2}=\frac{1}{33}$$

2. Яка ймовірність того, що обидві карти є тузами, враховуючи, що у нас лопата туза?

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{P(both\ aces, have\ ace\ of\ spades)}{P(have\ ace\ of\ spades)}$$

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{(3C1*1C1)\ /\ 52C2}{2!*\frac{51}{52}*\frac{1}{51}}=\frac{1}{17}$$

Зараз десь уздовж цих прикладів я загубився ...

Останнє, очевидно, точно так само, як , що має велике значення (для мене), що це була б відповідь. Якщо вам кажуть, що у вас є туз (скажімо, лопати), то ви знаєте, що є ще3тузи та51карта.$\frac{3}{51}$$3$$51$

Але в попередньому прикладі математика здається прекрасною (і я вважаю, що викладач не дав би цього прикладу, якби він був невірним ...), але я не можу обернути голову навколо цього.

Як мені зрозуміти цю проблему?

Для сприяння інтуїції розгляньте візуалізацію двох подій (наборів результатів):

1. Подія кондиціонування, що є наведеною інформацією.

2. Умовна подія, імовірність якої ви хотіли б знайти.

Умовна ймовірність виявляється діленням шансу другого на випадковість першого.

---

Існує однаково вірогідні способи розправити дві картки навмання. Зручним способом візуалізації цих угод є складання їх у таблиці з рядками (скажімо), що позначають першу розроблену карту та стовпці другої картки угоди. Ось частина цієї таблиці, в якій еліпси ( ⋯ ) позначають відсутні частини. Зауважте, що оскільки дві картки не можуть бути однаковими, жодних записів немає по головній діагоналі таблиці. Рядки та стовпці впорядковані від тузів до королів:$52 \times 51$$\cdots$

Питання зосереджені на тузах. Інформація "у нас є принаймні один туз" розміщує пару в межах перших чотирьох рядків або перших чотирьох стовпців. Ми маємо на увазі це схематично уявити це за допомогою фарбування цих рядків та стовпців. Я їх пофарбував у червоний колір, але де з’являються обидва тузи, я пофарбував їх у чорний колір:

$2\times 6 = 12$$2\times (4\times 48) = 384$$12+384=396$

$$\frac{12}{396} = \frac{1}{33}.$$

Це чорна фракція червоної + чорної області.

Друге питання стверджує, що "у нас лопата туза". Це відповідає лише першому рядку та стовпцю:

$2\times 3 = 6$$2\times 48=96$$96+6 = 102$ таких пар. Розумуючи точно так, як раніше, шанс на два тузи є

$$\frac{6}{102} = \frac{1}{17}.$$

Знову ж це чорна фракція червоної + чорної області.

$12$ до $6$).

---

Я виявив такі схематичні фігури корисними навіть - можливо, особливо - при спробі зрозуміти складніші поняття ймовірності, такі як фільтрація сигма-алгебр .

Інший спосіб налаштування проблеми, що призводить до другого обчислення, полягає в наступному:

З колоди витягуєте дві карти. Яка ймовірність двох тузів, враховуючи, що першою карткою, яку ви намалювали, був туз?

Це формулювання полегшує порівняння з першим розрахунком. Основний шанс обрати два тузи не змінюється, але умова мати першу карту як туза є більш обмежуючою, ніж умова, якщо будь туз. Це означає, що в розрахунку умовної ймовірності бажана комбінація повинна відбуватися серед меншої кількості варіантів, тому вона має більшу ймовірність.

Дві різні фрази (туз лопат проти першої картки як туз) схожі, оскільки вони порушують симетрію / обмінність між тузами: костюм чи порядок не можуть бути довільно замінені.

На початку мені було важко мати якусь інтуїцію.

Одна ідея - поставити проблему до межі. У цьому випадку, як зазначив Стів, одна одна проблема: у мого сусіда двоє дітей - ви знаєте, що один з них - хлопчик. Яка ймовірність того, що у неї є два хлопчики.

Перша ідея - це нормально, у мене один хлопчик, у іншої дитини є 1/2 шансу стати дівчиною і 1/2 - хлопчиком, але в цьому випадку ви не берете всієї інформації, яка дає вам факт ( принаймні, у вас є хлопчик), оскільки мається на увазі, що цей хлопчик може бути наймолодшою ​​дитиною, найстаршою дівчиною або віверверсою, або обидва - хлопчики, а це означає, що лише один з трьох можливих результатів сприятливий.

Як я вже сказав, це простіше довести проблему до межі ...

Case1: Абстрактний випадок, ідентичний "у нас є один туз" -> У цьому випадку уявляєш, що у мого сусіда немає 2 дітей, а 27, а ви знаєте, 26 хлопчики, ймовірність цього майже дорівнює нулю. У цьому випадку зрозуміло, що ця інформація дає вам багато інформації про те, що ймовірно кажучи, що залишилася дитина - це дівчинка. Якщо бути точним, у вас буде один випадок з 27 хлопчиками, скажімо, кортеж (b, b, b, b, b, b ..., b) та 27 випадків з 1 дівчиною та 26 хлопчиками (g, b, b , b ...), (b, g, b, b, b ...), тому ймовірність всіх хлопців становить 1/27, загалом це буде 1 / (N + 1)

case2: Конкретна інформація. Це було б ідентично "У нас лопата туза" або "У нас перша карта - туз". У цьому випадку уявіть, що у нашого сусіда 26 дітей, всі хлопчики і вагітна 27-м. Яка ймовірність того, що 27-ий буде хлопчиком?

Що стосується case2, я впевнений, що всі ми можемо зрозуміти інтуїцію, необхідну для подібних не дуже очевидних проблем із умовними ймовірностями.

Якщо ви хочете розбагатіти, вам доведеться зробити ставку на перший випадок з 26 хлопчиками та 27-м, оскільки відсутність конкретної інформації означає багато ймовірної енергії для дитини, яка залишилася, а в другому випадку ентропія величезна, у нас є не інформація, щоб знати, де робити ставку.

Сподіваюся, це корисно

Як можна сказати відповідь 3/51 без розрахунку?

Якщо ви взяли туз лопат в першу чергу. Я знаю, які картки є в упаковці. Таким чином, існує 3 тузи на 51 картці. тож для другого у вас є 3/51 шансів мати два тузи.

І як зрозуміти різницю між двома сценаріями інтуїтивно?

Це тому, що "Мати одного туза" включено до "Мати два тузи". Але "Майте туз лопат" не входить у "Майте два тузи". Це різниця.

Насправді, якщо у вас є два туза, у вас є один, але, можливо, не лопата туза. Тож це не однакова ймовірність.

Цей відповідь стосувався іншої посади, яку було переміщено на цій.