Що розуміється під категоричним розподілом?

Чи це окремий тип розподілу (EX: Біноміальний, Бернуллі, Мультиноміальний), або будь-який розподіл можна представити таким чином. Чи може хтось детальніше пояснити простим прикладом

Категоричний розподіл - це узагальнення розподілу Бернуллі до фіксованого числа результатів.$2 \le k$

Рівнозначно, це особливий випадок багаточленного розподілу, де кількість "варіантів" фіксована на одиницю.$n$

Отже, він має pdf:

$$\prod_{i=1}^k p_i^{x_i} \qquad\text{(where $0\le p_i$ and $\sum_i p_i = 1$)}$$ над підтримкою де $$x_i \in \{0,1\}$$ $$n \triangleq \sum_{i=1}^k x_i = 1.$$

Підсумовуючи, Бернуллі має $k=2, n=1$ , двочлен має $k=2, n\ge 1$ , багаточлен має $k\ge2, n\ge1$ , а категоричний має $k\ge2, n=1$ .

Категоричні змінні мають кінцеві набори дискретних значень. Приклади включають секс (чоловік / жінка), країну, планету тощо. Порівняйте це з постійними змінними, які можуть приймати нескінченну кількість різних значень. Приклади включають вагу, довготу, відстань тощо.

Зауважте, що подібну інформацію іноді можна висловити категорично та безперервно; наприклад, planet = earthможна виразити як distance to sun = 1 astronomical unit ≈ 150 million kilometers. Однак насправді не існує жодного способу виразити 200 мільйонів кілометрів від сонця з точки зору планет, тому що там немає планети (Марс знаходиться на відстані 228 мільйонів км від сонця). Те саме для 201 млн. Км, 202 і т. Д. Все, що можна сказати про ці відстані з точки зору планет, - це planet = none; ви не могли сказати planet = 4/3×earthабо .88×Mars, оскільки немає жодного змістовного способу множення планети чи будь-якої іншої категоричної змінної. З точки зору планет ці відстані були б невідрізні, але, звичайно, вони мають сенс як окремі відстані від сонця, коли виражаються як такі - як суцільна змінна.

Можна також виражати безперервні змінні з довільною точністю (наприклад, одна астрономічна одиниця становить 149,597,871 км, а не рівно 150 мільйонів км). І навпаки, немає можливості висловитись planet = earthбільш точно; Земля - ​​це саме земля, ні більше, ні менше. Крім того, не було б сенсу говорити, що будь-яка інша планета "більше" або "менше", ніж Земля, якщо planetє номінальною змінною. Це може бути кодоване як впорядкована (порядкова) змінна - планети впорядковані у залежності від відстані до сонця, об'єму, кількості лун тощо. Ці числа є суцільними за власним терміном (або принаймні підрахунками, які є дискретними але не категорично), але не з точки зору планет. Наприклад, якщо планети впорядковані по відстані від Сонця або за кількістю місяців mars > earth > venus. Якщо планети впорядковані за обсягом,earth > venus > mars. Не потрібно впорядковувати категоричні змінні, а можливо, деякі їх не можна впорядкувати, але додавання порядку не робить їх менш категоричними.

Як говорить Вікіпедія, категоричні розподіли - це узагальнення розподілу Бернуллі до більш ніж двох можливих значень (розподіл Бернуллі є строго бінарним). Розподіл Бернуллі також є особливим випадком біноміального розподілу, але я би не називав біноміальний розподіл категоричним (це дискретно, але змінна кількість, тому відстані між значеннями визначаються). Мультиноміальний розподіл може бути пов'язаний з категоричними розподілами, але Вікіпедія застерігає від цього .