Коваріація випадкового вектора після лінійного перетворення

20

Якщо - випадковий вектор, а - нерухома матриця, може хтось пояснить, чому $\mathbf {Z}$ $A$

c о v [А Z] = А c о v [Z] А^{⊤} .

$\mathrm{cov}[A \mathbf {Z}]= A \mathrm{cov}[\mathbf {Z}]A^\top.$

covariance

— користувач92612
джерело

26

$\mathbf Z$ $\mathbf{m} = E[\mathbf{Z}]$ $\operatorname{cov}(\mathbf{Z}) = E[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]$ $A\mathbf{Z}$ $A\mathbf{m}$

\begin{aligned} ков (А Z) & = Е [(А Z - А м) (А Z - А м)^{Т}] \\ = Е [А (Z - м) (Z - м)^{Т} А^{Т}] \\ = А Е [(Z - м) (Z - м)^{Т}] А^{Т} \\ = А ков (Z) А^{Т} . \end{aligned}

$\begin{align}\operatorname{cov}(A\mathbf{Z}) &= E[(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})^T]\\ &= E[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T]\\ &= AE[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T\\ &= A\operatorname{cov}(\mathbf{Z})A^T. \end{align}$

— Діліп Сарват
джерело

1

Я виправив друк. Дякуємо, що вказали на мою помилку.

— user92612

4

$\mathbf{Z}A^T$

c о v (Z А^{Т}) = А c о v (Z) А^{Т}

$\mathrm{cov}(\mathbf{Z}A^T) = A\mathrm{cov}(\mathbf{Z})A^T$

\begin{aligned} c о v (Z А^{Т}) & = Е [(Z А^{Т} - м А^{Т}) (Z А^{Т} - м А^{Т})^{Т}] \\ = Е [(Z - м) А^{Т} А (Z - м)^{Т}] \\ = Е [А (Z - м) (Z - м)^{Т} А^{Т}] \\ = А Е [(Z - м) (Z - м)^{Т}] А^{Т} \\ = А c о v (Z) А^{Т} \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{cov}(\mathbf{Z}A^T)&=\mathbb{E}[(\mathbf{Z}A^T-\mathbf{m}A^T)(\mathbf{Z}A^T-\mathbf{m}A^T)^T] \\ &=\mathbb{E}[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})A^TA(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T] \\ &=\mathbb{E}[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T] \\ &=A\mathbb{E}[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T \\ &=A\mathrm{cov}(\mathbf{Z})A^T \\ \end{align}$

$AB^TBA^T=BAA^TB^T$

\begin{aligned} А Б^{Т} Б А^{Т} & = {({(А Б^{Т} Б А^{Т})}^{Т})}^{Т} \\ = {(Б А^{Т} А Б^{Т})}^{Т} \\ = Б {(Б А^{Т} А)}^{Т} \\ = Б А А^{Т} Б^{Т} \end{aligned}

$\begin{align}AB^TBA^T &= \left(\left(AB^TBA^T\right)^T\right)^T \\ &= \left(BA^TAB^T\right)^T \\ &= B\left(BA^TA\right)^T \\ &= BAA^TB^T \end{align}$

— Ян Кукацька
джерело