Тест для відрізнення періодичних від майже періодичних даних

Припустимо, у мене є якась невідома функція з доменом , яку я знаю, щоб виконати деякі розумні умови, такі як наступність. Я знаю точні значення f (тому що дані походять від моделювання) у деяких рівновідставних точках відбору t_i = t_0 + iΔt з i∈ \ {1,…, n \} , які, як я можу вважати, є досить точними, щоб захопити всі Відповідні аспекти f , наприклад, я можу припустити, що між двома точками відбору є максимум один локальний екстремум f . Шукаю тест , який говорить мені , що мої Complies даних з F бути точно періодичним, тобто ∃τ: е (т + τ) = е (т) \, ∀ \, т$f$$ℝ$$f$$t_i=t_0 + iΔt$$i∈\{1,…,n\}$$f$$f$$f$$∃τ: f(t+τ)=f(t) \,∀\,t$, причому тривалість періоду є дещо резонансною, наприклад, $Δt < τ < n·Δt$ (але можливо, що я можу зробити більш сильні обмеження, якщо потрібно).

З іншого погляду, я маю дані ${x_0, …, x_n}$ і шукаю тест, який відповідає на питання, чи існує періодична функція $f$ (виконуючи умови, описані вище), що $f(t_i)=x_i ∀ i$ .

Важливим моментом є те, що $f$ принаймні дуже близький до періодичності (це може бути, наприклад, $f(t) := \sin(g(t)·t)$ або $f(t) := g(t)·\sin(t)$ з $g'(t) ≪ g(t_0)/Δt$ ) в тій мірі , що зміна однієї точки даних з допомогою невеликої кількості може бути достатньо , щоб зробити дані відповідають $f$ бути точно періодичним. Таким чином, стандартні інструменти для аналізу частоти, такі як перетворення Фур'є або аналіз нульових перетинів, не дуже допоможуть.

Зауважте, що тест, який я шукаю, ймовірно, не буде імовірнісним.

У мене є кілька ідей, як створити такий тест самостійно, але хочу уникнути винахідництва колеса. Тому я шукаю існуючий тест.

Як я вже говорив, у мене виникла ідея, як це зробити, яку я зрозумів, уточнив і написав документ, про який зараз публікується: Chaos 25, 113106 (2015) - передрук на ArXiv .

Критерій, що досліджується, майже такий самий, як накреслений у питанні: З огляду на дані відібрані у часових точках , тест вирішує, чи є функція і a таким, що:$x_1, \ldots, x_n$$t_0, t_0 + Δt, \ldots, t_0 + nΔt$$f: [t_0, t_0 + Δt] → ℝ$$τ ∈ [2Δt,(n-1)Δt]$

• $f(t_0 + iΔt)=x_i\quad \forall i∈\{1,…,n\}$
• $f(t+τ)=f(t) \quad∀t∈[t_0, t_0 + Δt-τ]$
• $f$ не має більше локальних екстремумів, ніж послідовність , за винятком, щонайменше, одного екстремуму, близького до початку та кінця кожного.$x$$f$

Тест можна модифікувати для врахування невеликих помилок, таких як числові помилки методу моделювання.

^{Я сподіваюся, що моя робота також відповідає, чому я зацікавився таким випробуванням.}

Перетворіть дані у частотну область за допомогою дискретного перетворення Фур'є (DFT). Якщо дані ідеально періодичні, буде рівно один відрізок частоти з високим значенням, а інші відводи будуть нульовими (або майже нульовими, див. Витік спектра).

Зауважте, що роздільна здатність частоти задається . Таким чином, це встановлює межу точності виявлення.$\frac{\text{sampling frequency}}{\text{Number of samples}}$

Якщо ви знаєте фактичний періодичний сигнал, обчисліть

$\text{difference} = \Big|\text{theoretical data} - \text{measured data}\big|$

Потім підсумуйте елементи . Якщо вона перевищує поріг (врахуйте помилку арифметики з плаваючою комою), дані не є періодичними.$\text{difference}$