Байєсське моделювання з використанням багатоваріантного нормального з коваріатом

Припустимо, у вас є пояснювальна змінна де являє собою задану координату. Ви також маєте змінну відповіді . Тепер ми можемо поєднати обидві змінні як: ${\bf{X}} = \left(X(s_{1}),\ldots,X(s_{n})\right)$ $s$ ${\bf{Y}} = \left(Y(s_{1}),\ldots,Y(s_{n})\right)$

W (s) = (\begin{array}{ccc} X (s) \\ Y (s) \end{array}) \sim N (μ (s), T)

${\bf{W}}({\bf{s}}) = \left( \begin{array}{ccc}X(s) \\ Y(s) \end{array} \right) \sim N(\boldsymbol{\mu}(s), T)$

У цьому випадку ми просто вибираємо іявляє собою матрицю коваріаціїяка описує залежність міжі. Це лише описує значенняіпри. Оскільки у нас є більше точок з інших місць длята, ми можемо описати більше значеньнаступним чином: $\boldsymbol{\mu}(s) = \left( \mu_{1} \; \; \mu_{2}\right)^{T}$ $T$ $X$ $Y$ $X$ $Y$ $s$ $X$ $Y$ ${\bf{W}}(s)$

(\begin{array}{ccc} X \\ Y \end{array}) = N ((\begin{array}{ccc} μ_{1} 1 \\ μ_{2} 1 \end{array}), T \otimes H (ϕ))

$\left( \begin{array}{ccc} {\bf{X}} \\ {\bf{Y}} \end{array}\right) = N\left(\left(\begin{array}{ccc}\mu_{1}\boldsymbol{1}\\ \mu_{2}\boldsymbol{1}\end{array}\right), T\otimes H(\phi)\right)$

Ви помітите, що ми переставили компоненти і для отримання всіх у стовпчик, а після цього об'єднайте всі разом. Кожна складова є кореляційною функцією а - як вище. Причина у нас коваріація $\bf{X}$ $\bf{Y}$ $X(s_i)$ $Y(s_i)$ $H(\phi)_{ij}$ $\rho(s_i, s_j)$ $T$ $T\otimes H(\phi)$ тому що ми припускаємо , що можна відокремити матрицю коваріації , як . $C(s, s')=\rho(s, s') T$

Питання 1: Коли я обчислюю умовний , те, що я насправді роблю, - це генерувати набір значень на основі , правильно? У мене вже є тому мені було б більше цікаво передбачити нову точку . У цьому випадку у мене повинна бути матриця визначена як ${\bf{Y}}\mid{\bf{X}}$ $\bf{Y}$ $\bf{X}$ $\bf{Y}$ $y(s_{0})$ $H^{*}(\phi)$

H^{*} (ϕ) = (\begin{array}{ccc} H (ϕ) & h \\ h & ρ (0, ϕ) \end{array})

$H^{*}(\phi) = \left(\begin{array}{ccc}H(\phi) & \boldsymbol{h} \\ \boldsymbol{h}& \rho(0,\phi) \end{array}\right)$

в якій - вектор . Тому ми можемо побудувати вектор (без перестановки): $\boldsymbol{h}(\phi)$ $\rho(s_{0} - s_{j};\phi)$

W^{*} = {(W (s_{1}), \dots, W (s_{n}), W (s_{0}))}^{T} \sim N (\begin{array}{ccc} 1_{n + 1} \otimes (\begin{array}{ccc} μ_{1} \\ μ_{2} \end{array}) \end{array}, H (ϕ)^{*} \otimes T)

${\bf{W^{*}}} = \left({\bf{W}}(s_{1}), \ldots, {\bf{W}}(s_{n}), {\bf{W}}(s_{0})\right)^{T} \sim N\left(\begin{array}{ccc}\boldsymbol{1}_{n+1} \otimes \left( \begin{array}{ccc} \mu_{1} \\ \mu_{2} \end{array} \right)\end{array}, H(\phi)^{*}\otimes T\right)$

І тепер я просто переставляю, щоб отримати спільний розподіл і отримати умовний . $\left(\begin{array}{ccc} {\bf{X}} \\ x(s_0) \\{\bf{Y}} \\ y(s_0)\end{array} \right)$ $p(y(s_0)\mid x_0, {\bf{X}}, {\bf{Y}})$

Це правильно?

Питання 2: Для прогнозування документ, який я читаю, вказує, що я повинен використовувати цей умовний розподіл і отримати задній розподіл , але я не впевнений, як отримати задній розподіл для параметрів. Можливо, я міг би використовувати розподіл $p(y(s_0)\mid x_0, {\bf{X}}, {\bf{Y}})$ $p(\mu, T, \phi\mid x(s_0), {\bf{Y}}, {\bf{X}})$ що я вважаю точно таким же, яка потім просто використовувати теорему Байєса, щоб отримати $\left(\begin{array}{ccc}{\bf{X}} \\ x(s_0)\\ {\bf{Y}}\end{array}\right)$ $p({\bf{X}}, x(s_0), {\bf{Y}}\mid\mu, T, \phi)$ $p(\mu, T, \phi\mid {\bf{X}}, x(s_0), {\bf{Y}}) \propto p({\bf{X}}, x(s_0), {\bf{Y}}\mid\mu, T, \phi)p(\mu, T, \phi)$

Питання 3: В кінці підрозділу автор говорить так:

Для прогнозування у нас немає . Це не створює нових проблем, оскільки це може трактуватися як латентна змінна і вбудовуватися в Це призводить до додаткового розіграшу в межах кожної ітерації Гіббса і є тривіальним доповненням до обчислювальної задачі. ${\bf{X}}(s_0)$ $\bf{x}'$

Що означає цей параграф?

До речі, цю процедуру можна знайти в цій статті (стор. 8), але, як бачите, мені потрібно трохи детальніше.

Дякую!

— Роберт Сміт
джерело

Голосували за перехід за запитом ОП .

X (s_{0})

$X(s_0)$

μ, T, ϕ

$\mu,T,\phi$

p (x (s_{0}) ∣ X,, Y, μ, T, ϕ)

$p(x(s_0)\mid{\bf{X}}, , {\bf{Y}},\mu, T, \phi)$

X (s_{0})

$X(s_0)$

(\begin{array}{ccc} X \\ Y \end{array}) \sim N ((\begin{array}{ccc} μ_{1} 1 \\ μ_{2} 1 \end{array}), [\begin{matrix} Σ_{11} & Σ_{12} \\ Σ_{21} & Σ_{22} \end{matrix}]) = N ((\begin{array}{ccc} μ_{1} 1 \\ μ_{2} 1 \end{array}), T \otimes H (ϕ))

$\left( \begin{array}{ccc} {\bf{X}} \\ {\bf{Y}} \end{array}\right) \sim N\left(\left(\begin{array}{ccc}\mu_{1}\boldsymbol{1}\\ \mu_{2}\boldsymbol{1}\end{array}\right), \begin{bmatrix} \boldsymbol\Sigma_{11} & \boldsymbol\Sigma_{12} \\ \boldsymbol\Sigma_{21} & \boldsymbol\Sigma_{22} \end{bmatrix} \right)=N\left(\left(\begin{array}{ccc}\mu_{1}\boldsymbol{1}\\ \mu_{2}\boldsymbol{1}\end{array}\right), T\otimes H(\phi)\right)$

Y

$\bf{Y}$

X

$\bf{X}$

μ_{2} + Σ_{21} Σ_{11}^{- 1} (X - μ_{1})

$\boldsymbol\mu_2 + \boldsymbol\Sigma_{21} \boldsymbol\Sigma_{11}^{-1} \left( \mathbf{X} - \boldsymbol\mu_1\right)$

Σ_{22} - Σ_{21} Σ_{11}^{- 1} Σ_{21} .

$\boldsymbol\Sigma_{22} - \boldsymbol\Sigma_{21} \boldsymbol\Sigma_{11}^{-1} \boldsymbol\Sigma_{21}.$

p (y (s_{0}) ∣ x (s_{0}), X, Y)

$p(y(s_0)\mid x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})$

(y (s_{0}), x (s_{0}), X, Y)

$(y(s_0), x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})$

$p(y(s_0)\mid x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})$

p (y (s_{0}) | x (s_{0}), X, Y) = \int p (y (s_{0}) | x (s_{0}), X, Y, μ, T, ϕ) p (μ, T, ϕ | x (s_{0}), X, Y) d μ d T d ϕ,

$p(y(s_0) | x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})=\int p(y(s_0)| x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}},\mu,T,\phi)\,p(\mu,T,\phi| x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})\,\text{d}\mu\,\text{d} T\,\text{d}\phi\,,$

(X, Y, x (s_{0}))

$({\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0))$

p (μ, T, ϕ ∣ X, x (s_{0}), Y)

$p(\mu, T, \phi\mid {\bf{X}}, x(s_0), {\bf{Y}})$

p (y (s_{0}) ∣ x (s_{0}), X, Y, μ, T, ϕ)

$p(y(s_0)\mid x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}},\mu,T,\phi)$

$x(s_0)$ $(x(s_0),y(s_0))$

p (x (s_{0}), y (s_{0}) ∣ X, Y) = \int p (x (s_{0}), y (s_{0}) ∣ X, Y, μ, T, ϕ) p (μ, T, ϕ ∣ X, Y) d μ d T d ϕ .

$p(x(s_0),y(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}})=\int p(x(s_0),y(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},\mu,T,\phi)\,p(\mu,T,\phi\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}})\,\text{d}\mu\,\text{d} T\,\text{d}\phi\,.$

При моделюванні з цього прогнозу, оскільки він не доступний в керованій формі, може бути запущений пробовідбірник Гіббса, який ітераційно імітує

$\mu\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0),y(s_0),T,\phi$
$T\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0),y(s_0),\mu,\phi$
$\phi\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0),y(s_0),T,\mu$
$x(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},y(s_0),\phi,T,\mu$
$y(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0),\phi,T,\mu$

або об'єднайте кроки 4 і 5 в один крок

$x(s_0),y(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},\phi,T,\mu$

— Сіань
джерело