Кулбек-Лейблер розбіжність між двома розподілами гами

Вибираючи параметризацію розподілу гами $\Gamma(b,c)$ за допомогою pdf $g(x;b,c) = \frac{1}{\Gamma(c)}\frac{x^{c-1}}{b^c}e^{-x/b}$ Розбіжність Куллбека-Лейблера між$\Gamma(b_q,c_q)$і$\Gamma(b_p,c_p)$задається [1], як

$$\begin{align} KL_{Ga}(b_q,c_q;b_p,c_p) &= (c_q-1)\Psi(c_q) - \log b_q - c_q - \log\Gamma(c_q) + \log\Gamma(c_p)\\ &\qquad+ c_p\log b_p - (c_p-1)(\Psi(c_q) + \log b_q) + \frac{b_qc_q}{b_p} \end{align}$$

Я здогадуюсь, що -функція digamma. $\Psi(x):= \Gamma'(x)/\Gamma(x)$

Це дано без походження. Я не можу знайти жодної посилання, яка б це випливала. Будь-яка допомога? Буде достатньо гарного посилання. Важкою частиною є інтеграція проти gma pdf.$\log x$

[1] WD Penny, KL-розбіжності нормальної, гамма, диріхле та щільності Вішарта, доступні за адресою: www.fil.ion.ucl.ac.uk/~wpenny/publications/densities.ps

Дивергенція KL - це різниця інтегралів форми

$$ \ eqalign {I (a, b, c, d) & = \ int_0 ^ {\ infty} \ log \ зліва (\ frac {e ^ {- x / a} x ^ {b-1}} {a ^ b \ Gamma (b)} \ справа) \ frac {e ^ {- x / c} x ^ {d-1}} {c ^ d \ Gamma (d)} dx \

& = - \ frac {1} {a} \ int_0 ^ \ infty \ frac {x ^ de ^ {- x / c}} {c ^ d \ Gamma (d)} \, dx - \ log (a ^ b \ Gamma (b)) \ ​​int_0 ^ \ infty \ frac {e ^ {- x / c} x ^ {d-1}} {c ^ d \ Gamma (d)} \, dx \ & \ quad + (b- 1) \ int_0 ^ \ infty \ log (x) \ frac {e ^ {- x / c} x ^ {d-1}} {c ^ d \ Gamma (d)} \, dx \

& = - \ frac {cd} {a} - \ log (a ^ b \ Gamma (b)) + (b-1) \ int_0 ^ \ infty \ log (x) \ frac {e ^ {- x / c } x ^ {d-1}} {c ^ d \ Gamma (d)} \, dx} $$

Треба просто мати справу з інтегралом правої руки, який отримуємо шляхом спостереження

$$\eqalign{ \frac{\partial}{\partial d}\Gamma(d) =& \frac{\partial}{\partial d}\int_0^{\infty}e^{-x/c}\frac{x^{d-1}}{c^d}dx\\ =& \frac{\partial}{\partial d} \int_0^\infty e^{-x/c} \frac{(x/c)^{d-1}}{c}\,dx\\ =&\int_0^\infty e^{-x/c}\frac{x^{d-1}}{c^d} \log\frac{x}{c} \,dx\\ =&\int_0^{\infty}\log(x)e^{-x/c}\frac{x^{d-1}}{c^d}dx - \log(c)\Gamma(d). }$$

Звідси

$$\frac{b-1}{\Gamma(d)}\int_0^{\infty} \log(x)e^{-x/c}(x/c)^{d-1}dx = (b-1)\frac{\Gamma'(d)}{\Gamma(d)} + (b-1)\log(c).$$

Підключення до попередніх урожаїв

$$I(a,b,c,d)=\frac{-cd}{a} -\log(a^b\Gamma(b))+(b-1)\frac{\Gamma'(d)}{\Gamma(d)} + (b-1)\log(c).$$

Дивергенція KL між та Γ ( a , b ) дорівнює I ( c , d , c , d ) - I ( a , b , c , d ) , яку легко зібрати.$\Gamma(c,d)$$\Gamma(a,b)$$I(c,d,c,d) - I(a,b,c,d)$

---

Деталі впровадження

Гамма-функції швидко зростають, щоб уникнути переповнення, не обчислюйте Гамму та не приймайте її логарифм: замість цього використовуйте функцію log-Gamma, яку можна знайти в будь-якій статистичній обчислювальній платформі (включаючи Excel, для цього питання).

Ставлення є логарифмічна похідна Г , як правило , називають ψ , дігамма функція. Якщо це недоступно для вас, існують порівняно прості способи його наближення, як описано у статті Вікіпедії .$\Gamma^\prime(d)/\Gamma(d)$$\Gamma,$$\psi,$

Тут, щоб проілюструвати, є прямою Rреалізацією формули в термінах . Це не використовує можливість спростити результат алгебраїчно, що б зробити його трохи більш ефективним ( за рахунок усунення надмірного розрахунку ф ).$I$$\psi$

#
# `b` and `d` are Gamma shape parameters and
# `a` and `c` are scale parameters.
# (All, therefore, must be positive.)
#
KL.gamma <- function(a,b,c,d) {
  i <- function(a,b,c,d)
    - c * d / a - b * log(a) - lgamma(b) + (b-1)*(psigamma(d) + log(c))
  i(c,d,c,d) - i(a,b,c,d)
}
print(KL.gamma(1/114186.3, 202, 1/119237.3, 195), digits=12)

The Gamma distribution is in the exponential family because its density can be expressed as:

$$\begin{align} \newcommand{\mbx}{\mathbf{x}} \newcommand{\btheta}{\boldsymbol{\theta}} f(\mbx \mid \btheta) &= \exp\bigl(\eta(\btheta) \cdot T(\mbx) - g(\btheta) + h(\mbx)\bigr) \end{align}$$

Looking at the Gamma density function, its log-normalizer is

$$g(\btheta) = \log(\Gamma(c)) + c\log(b)$$ with natural parameters $$\btheta = \left[\begin{matrix}c-1\\-\frac1 b\end{matrix}\right]$$

All distributions in the exponential family have KL divergence:

$$\begin{align} KL(q; p) &= g(\btheta_p) - g(\btheta_q) - (\btheta_p-\btheta_q) \cdot \nabla g(\btheta_q). \end{align}$$

There's a really nice proof of that in:

Frank Nielsen, École Polytechnique, and Richard Nock, Entropies and cross-entropies of exponential families.