Приклад непослідовного оцінювача максимальної вірогідності

Я читаю коментар до статті, і автор стверджує, що іноді, хоча оцінювачі (знайдені за ML або максимальною квазіімовірністю) можуть бути невідповідними, потужність коефіцієнта ймовірності або тесту квазівірогідності все ж може сходитися до 1, оскільки кількість спостережуваних даних має тенденцію до нескінченності (консистенція тесту). Як і коли це відбувається? Чи знаєте ви якусь бібліографію?

[Я думаю, що це може бути прикладом ситуації, про яку йдеться у вашому питанні.]

Є численні приклади непослідовних оцінювачів ML. Невідповідність зазвичай спостерігається з різноманітними проблемами, що мають трохи складну суміш, і проблемами цензури.

[Послідовність тесту - це лише те, що сила тесту для (фіксованої) помилкової гіпотези зростає до одиниці, як .]$n\to\infty$

Радфорд Ніл наводить приклад у своєму записі у щоденнику 2008-08-09 Непослідовна оцінка максимальної ймовірності: «Звичайний» приклад . Він включає оцінку параметра у:$\theta$

(Ніл використовує там, де у мене є ), де оцінка ML буде схильна до як (і справді ймовірність може бути набагато вищою в піку близько 0, ніж при справжньому значенні для досить скромної вибірки розміри). Тим не менш, випадок, що є пік поблизу справжнього значення , він просто менший, ніж значення, що знаходиться біля 0.θ θ 0 n → ∞ $t$$\theta$$\theta$$0$$n\to\infty$$\theta$

Уявіть тепер два випадки, пов'язані з цією ситуацією:

а) проведення тесту на відношення ймовірності проти альтернативи ;H 1 : θ < θ $H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta<\theta_0$

б) виконання тесту на відношення ймовірності проти альтернативи .H 1 : θ ≠ θ $H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta\neq\theta_0$

У випадку (а) уявіть, що істина (так що альтернатива є істинною, а - іншою стороною істинної ). Тоді, незважаючи на те, що ймовірність, що дуже близька до 0, перевищить при , ймовірність при все ж перевищує ймовірність при навіть у невеликих зразках, і співвідношення буде продовжувати зростати як , таким чином, щоб змусити ймовірність відхилення в тесті коефіцієнта ймовірності перейти до 1. 0 θ θ θ θ 0 n → $\theta<\theta_0$$0$$\theta$$\theta$$\theta$$\theta_0$$n\to\infty$

Дійсно, навіть у випадку, коли (b), поки фіксований та обмежений від , також має бути випадок, що коефіцієнт ймовірності зростатиме таким чином, щоб зробити тесту ймовірності відхилення також тест на коефіцієнт ймовірності підхід 1.$\theta_0$$0$

Таким чином, це, мабуть, є прикладом непослідовної оцінки ML, коли потужність LRT все-таки повинна 1 (за винятком випадків, коли ).$\theta_0=0$

[Зверніть увагу, що насправді немає нічого в цьому, що вже не у відповіді Ваубера, що, на мою думку, є прикладом ясності, і є набагато простішим для розуміння різниці між консистенцією тесту та послідовністю оцінювача. Той факт, що непослідовний оцінювач у конкретному прикладі не був ML, насправді не має значення, наскільки розуміє цю різницю - і введення непослідовного оцінювача саме для ML - як я намагався зробити тут - насправді не змінює пояснення будь-яким предметним способом. Єдиним реальним моментом прикладу тут є те, що я думаю, що це вирішує вашу проблему щодо використання оцінки ML.]

$(X_n)$$(\mu, 1)$

$T(X_1,\ldots,X_n)=1+\bar{X}$$(\mu+1, 1/\sqrt{n})$$\mu+1\ne \mu$

$\mu=\mu_0$$\mu=\mu_A$$\bar{X}$$T$$T$$\mu+1=\mu_0+1$$\mu+1=\mu_A+1$$1$$\alpha\gt 0$$T$$1$