Фон

Припустимо, у нас є модель звичайних найменших квадратів, де у нашій регресійній моделі є $k$ коефіцієнти,

y = X β + ϵ

$\mathbf{y}=\mathbf{X}\mathbf{\beta} + \mathbf{\epsilon}$

де $\mathbf{\beta}$ є $(k\times1)$ вектор коефіцієнтів, $\mathbf{X}$ являє собою матрицю конструкції визначається

X = (\begin{matrix} 1 & x_{11} & x_{12} & \dots & x_{1 (k - 1)} \\ 1 & x_{21} & \dots & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & x_{n 1} & \dots & \dots & x_{n (k - 1)} \end{matrix})

$\mathbf{X} = \begin{pmatrix} 1 & x_{11} & x_{12} & \dots & x_{1\;(k-1)} \\ 1 & x_{21} & \dots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 1 & x_{n1} & \dots & \dots & x_{n\;(k-1)} \end{pmatrix}$ а похибки IID нормальні,

ϵ \sim N (0, σ^{2} I) .

$\mathbf{\epsilon} \sim \mathcal{N}\left(\mathbf{0},\sigma^2 \mathbf{I}\right) \;.$

Ми мінімізуємо суму-на-квадратних помилок, встановивши наші оцінки для $\mathbf{\beta}$ бути

\hat{β} = (X^{T} X)^{- 1} X^{T} y .

$\mathbf{\hat{\beta}}= (\mathbf{X^T X})^{-1}\mathbf{X}^T \mathbf{y}\;.$

Незміщеної оцінкою $\sigma^2$ поза

s^{2} = \frac{{‖ y - \hat{y} ‖}^{2}}{n - p}

$s^2 = \frac{\left\Vert \mathbf{y}-\mathbf{\hat{y}}\right\Vert ^2}{n-p}$ , де

(вих).

\hat{y} \equiv X \hat{β}

$\mathbf{\hat{y}} \equiv \mathbf{X} \mathbf{\hat{\beta}}$

Коваріація $\mathbf{\hat{\beta}}$ задається , де ( вих ).

Cov (\hat{β}) = σ^{2} C

$\operatorname{Cov}\left(\mathbf{\hat{\beta}}\right) = \sigma^2 \mathbf{C}$

C \equiv (X^{T} X)^{- 1}

$\mathbf{C}\equiv(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}$

Питання

Як я можу довести , що для , $\hat\beta_i$ де

\frac{{\hat{β}}_{i} - β_{i}}{s_{{\hat{β}}_{i}}} \sim t_{n - k}

$\frac{\hat{\beta}_i - \beta_i} {s_{\hat{\beta}_i}} \sim t_{n-k}$

є т-розподіл з

ступенів свободи, і стандартна помилка

оцінюється

t_{n - k}

$t_{n-k}$

(n - k)

$(n-k)$

{\hat{β}}_{i}

$\hat{\beta}_i$

s_{{\hat{β}}_{i}} = s \sqrt{c_{i i}}

$s_{\hat{\beta}_i} = s\sqrt{c_{ii}}$

Мої спроби

Я знаю, що для випадкових величин, відібраних з , можна показати, що $n$ $x\sim\mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$ , переписавши LHS як

\frac{\bar{x} - μ}{s / \sqrt{n}} \sim t_{n - 1}

$\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}$

і розуміючи, що чисельник є звичайним нормальним розподілом, а знаменник - квадратним коренем Chi-квадратного розподілу з df = (n-1) і ділиться на (n-1) (ref). Отже, з цього випливає t-розподіл з df = (n-1) (ref).

\frac{(\frac{\bar{x} - μ}{σ / \sqrt{n}})}{\sqrt{s^{2} / σ^{2}}}

$\frac{ \left(\frac{\bar x - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right) } {\sqrt{s^2/\sigma^2}}$

Я не зміг донести цей доказ до свого питання ...

Будь-які ідеї? Мені відомо це питання , але вони цього прямо не підтверджують, вони просто дають правило, кажучи, що "кожен прогноктор коштує вам певної свободи".

— Гаррет
джерело

Оскільки

є лінійною комбінацією спільно нормальних змінними, вона має нормальний розподіл. Тому все , що потрібно зробити є (1) встановити , що

; (2) показують , що

є несмещенной оцінкою

{\hat{β}}_{i}

$\hat\beta_i$

E ({\hat{β}}_{i}) = β_{i}

$\mathbb{E}(\hat\beta_i)=\beta_i$

s_{{\hat{β}}_{i}}^{2}

$s_{\hat\beta_i}^2$

; і (3) показуютьступеня свободи в

. Останнє було доведено на цьому сайті в декількох місцях, таких як

Var ({\hat{β}}_{i})

$\text{Var}(\hat\beta_i)$

s_{{\hat{β}}_{i}}

$s_{\hat\beta_i}$

n - k

$n-k$ stats.stackexchange.com/a/16931 . Я підозрюю, що ви вже знаєте, як це робити (1) і (2).

— whuber

Так як ми знаємощо ітаким чиномми знаємощо для кожного компонентапро ,

\begin{aligned} \hat{β} & = (Х^{Т} Х)^{- 1} Х^{Т} Y \\ = (Х^{Т} Х)^{- 1} Х^{Т} (Х β + ε) \\ = β + (Х^{Т} Х)^{- 1} Х^{Т} ε \end{aligned}

$\begin{align*} \hat\beta &= (X^TX)^{-1}X^TY \\ &= (X^TX)^{-1}X^T(X\beta + \varepsilon) \\ &= \beta + (X^TX)^{-1}X^T\varepsilon \end{align*}$

\hat{β} - β \sim N (0, σ^{2} (Х^{Т} Х)^{- 1})

$\hat\beta-\beta \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2 (X^TX)^{-1})$

k

$k$

\hat{β}

$\hat\beta$

{\hat{β}}_{к} - β_{к} \sim N (0, σ^{2} S_{к к})

$\hat\beta_k -\beta_k \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2 S_{kk})$ де

діагональний елемент

. Таким чином, ми знаємо , що

S_{k k}

$S_{kk}$

k^{th}

$k^\text{th}$

(X^{T} X)^{- 1}

$(X^TX)^{-1}$

z_{к} = \frac{{\hat{β}}_{к} - β_{к}}{\sqrt{σ^{2} S_{к к}}} \sim N (0, 1) .

$z_k = \frac{\hat\beta_k -\beta_k}{\sqrt{\sigma^2 S_{kk}}} \sim \mathcal{N}(0,1).$

Візьміть до уваги твердження Теореми про розподіл ідентичної потужної квадратичної форми у стандартному нормальному векторі (теорема В.8 в Ґріні):

Якщо і симетричний і ідентичний, то розподіляється $x\sim\mathcal{N}(0,I)$ $A$ $x^TAx$ $\chi^2_{\nu}$ $\nu$ $A$

Нехай позначить регресійний залишковий вектор , і нехай яка є матрицею залишкового виробника (тобто $\hat\varepsilon$

М = Я_{н} - Х (Х^{Т} Х)^{- 1} Х^{Т},

$M=I_n - X(X^TX)^{-1}X^T \text{,}$

M y = \hat{ε}

$My=\hat\varepsilon$ $M$

с^{2} = \frac{{\hat{ε}}^{Т} \hat{ε}}{н - p}

$s^2 = \frac{\hat\varepsilon^T \hat\varepsilon}{n-p}$

σ^{2}

$\sigma^2$

Потім нам потрібно зробити лінійну алгебру. Зверніть увагу на ці три властивості лінійної алгебри:

Ранг ідентифікованої матриці - це її слід.
$\operatorname{Tr}(A_1+A_2) = \operatorname{Tr}(A_1) + \operatorname{Tr}(A_2)$
$\operatorname{Tr}(A_1A_2) = \operatorname{Tr}(A_2A_1)$ $A_1$ $n_1 \times n_2$ $A_2$ $n_2 \times n_1$

\begin{aligned} звання (М) = Тр (М) & = Тр (Я_{н} - Х (Х^{Т} Х)^{- 1} Х^{Т}) \\ = Тр (Я_{н}) - Тр (Х (Х^{Т} Х)^{- 1} Х^{Т})) \\ = Тр (Я_{н}) - Тр ((Х^{Т} Х)^{- 1} Х^{Т} Х)) \\ = Тр (Я_{н}) - Тр (Я_{p}) \\ = н - p \end{aligned}

$\begin{align*} \operatorname{rank}(M) = \operatorname{Tr}(M) &= \operatorname{Tr}(I_n - X(X^TX)^{-1}X^T) \\ &= \operatorname{Tr}(I_n) - \operatorname{Tr}\left( X(X^TX)^{-1}X^T) \right) \\ &= \operatorname{Tr}(I_n) - \operatorname{Tr}\left( (X^TX)^{-1}X^TX) \right) \\ &= \operatorname{Tr}(I_n) - \operatorname{Tr}(I_p) \\ &=n-p \end{align*}$

\begin{aligned} V = \frac{(н - p) с^{2}}{σ^{2}} = \frac{{\hat{ε}}^{Т} \hat{ε}}{σ^{2}} = {(\frac{ε}{σ})}^{Т} М (\frac{ε}{σ}) . \end{aligned}

$\begin{align*} V = \frac{(n-p)s^2}{\sigma^2} = \frac{\hat\varepsilon^T\hat\varepsilon}{\sigma^2} = \left(\frac{\varepsilon}{\sigma}\right)^T M \left(\frac{\varepsilon}{\sigma}\right). \end{align*}$

$V \sim \chi^2_{n-p}$

$\varepsilon$ $\hat\beta$ $\hat\varepsilon$ $s^2$ $\hat\varepsilon$ $s^2$ $\hat\beta$ $z_k$ $V$

\begin{aligned} т_{к} = \frac{z_{к}}{\sqrt{V / (н - p)}} \end{aligned}

$\begin{align*} t_k = \frac{z_k}{\sqrt{V/(n-p)}} \end{align*}$

n - p

$n-p$

t

$t$ $t_k$ $t$ $n-p$

Потім він може бути алгебраїчно маніпульований у більш звичній формі.

\begin{aligned} т_{к} & = \frac{\frac{{\hat{β}}_{к} - β_{к}}{\sqrt{σ^{2} S_{к к}}}}{\sqrt{\frac{(н - p) с^{2}}{σ^{2}} / (н - p)}} \\ = \frac{\frac{{\hat{β}}_{к} - β_{к}}{\sqrt{S_{к к}}}}{\sqrt{с^{2}}} = \frac{{\hat{β}}_{к} - β_{к}}{\sqrt{с^{2} S_{к к}}} \\ = \frac{{\hat{β}}_{к} - β_{к}}{se ({\hat{β}}_{к})} \end{aligned}

$\begin{align*} t_k &= \frac{\frac{\hat\beta_k -\beta_k}{\sqrt{\sigma^2 S_{kk}}}}{\sqrt{\frac{(n-p)s^2}{\sigma^2}/(n-p)}} \\ &= \frac{\frac{\hat\beta_k -\beta_k}{\sqrt{S_{kk}}}}{\sqrt{s^2}} = \frac{\hat\beta_k -\beta_k}{\sqrt{s^2 S_{kk}}} \\ &= \frac{\hat\beta_k -\beta_k}{\operatorname{se}\left(\hat\beta_k \right)} \end{align*}$

— Синій маркер
джерело

Theorem for the Distribution of an Idempotent Quadratic Form in a Standard Normal Vector

A

$A$

A = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})

$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$

x_{1}^{2} + x_{1} x_{2}

$x_1^2+x_1 x_2$

A

$A$

M

$M$

A

$A$

A

$A$

(x_{1}, x_{2}) \to x_{1}^{2} + x_{1} x_{2}

$(x_1,x_2)\to x_1^2+x_1x_2$

A = (\begin{matrix} 1 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 0 \end{matrix})

$A=\begin{pmatrix}1&1/2\\1/2&0\end{pmatrix}$ чого немає

— whuber

ϵ \sim N (0, σ^{2})

$\epsilon\sim N(0,\sigma^2)$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

\hat{ϵ}

$\hat{\epsilon}$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

\hat{ε}

$\hat{\varepsilon}$

\hat{β} = β + {(X^{⊤} X)}^{- 1} X^{⊤} ε

$\hat{\beta} = \beta + \left(X^{\top}X\right)^{-1}X^{\top}\varepsilon$

\hat{ε} = M ε

$\hat{\varepsilon} = M\varepsilon$

Cov (\hat{β}, \hat{ε}) = 0_{p \times n}

$\operatorname{Cov}\left(\hat{\beta}, \hat{\varepsilon}\right) = \mathbf{0}_{p\times n}$

Доведення того, що коефіцієнти в моделі OLS відповідають t-розподілу з (nk) ступенем свободи

Фон

Питання

Мої спроби