Яка різниця між

Як правило, яка різниця між $E(X|Y)$ і $E(X|Y=y)$ ?

Попереднє - функція $y$ а остання - функція $x$ ? Це так заплутано ..

Грубо кажучи, різниця між $E(X \mid Y)$ і $E(X \mid Y = y)$ полягає в тому, що перша є випадковою змінною, тоді як остання є (в деякому сенсі) реалізацією $E(X \mid Y)$ . Наприклад, якщо

$$(X, Y) \sim \mathcal N\left(\mathbf 0, \begin{pmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{pmatrix}\right)$$ то $E(X \mid Y)$це випадкова величина І навпаки, як тільки спостерігається Y = y , ми з більшою ймовірністю будемо цікавити величину E ( X ∣ Y = y ) = ρ y, яка є скалярною. $$E(X \mid Y) = \rho Y.$$ $Y = y$$E(X \mid Y = y) = \rho y$

Можливо, це здається непотрібним ускладненням, але відносно як випадкової змінної саме по собі є те, що робить такі речі, як вежа-закон E ( X ) = E [ E ( X ∣ Y ) ] має сенс - річ на внутрішній стороні брекетів випадкова, тому ми можемо запитати, яке її очікування, тоді як про E ( X ∣ Y = y ) немає нічого випадкового . У більшості випадків ми можемо сподіватися обчислити E ( X ∣ Y $E(X \mid Y)$$E(X) = E[E(X \mid Y)]$$E(X \mid Y = y)$

$$E(X \mid Y = y) = \int x f_{X\mid Y}(x \mid y) \ dx$$

а потім отримаємо , "включивши" випадкову змінну Y замість y в результуючому виразі. Як натякнуто в попередньому коментарі, є трохи тонкощів, які можуть повстати щодо того, як ці речі суворо визначені та пов’язують їх відповідним чином. Це, як правило, відбувається з умовною ймовірністю через деякі технічні проблеми, що лежать в основі теорії.$E(X \mid Y)$$Y$$y$

Припустимо, що $X$ і $Y$ - випадкові величини.

Нехай $y_0$ - фіксоване дійсне число, скажімо, $y_0 = 1$ . Тоді $E[X\mid Y=y_0]= E[X\mid Y = 1]$ є число : це умовне очікуване значення з $X$ за умови , що $Y$ має значення $1$ . Тепер зверніть увагу на деяке інше фіксоване дійсне число $y_1$ , скажімо, $y_1=1.5$ , $E[X\mid Y = y_1] = E[X\mid Y = 1.5]$ було б умовним очікуваним значенням $X$ заданим$Y = 1.5$ (дійсне число). Немає підстав вважати, що$E[X\mid Y = 1.5]$ і$E[X\mid Y = 1]$ мають однакове значення. Таким чином, ми можемо також розглянути$E[X\mid Y=y]$ як areal-valued function $g(y)$ that maps real numbers $y$ to real numbers $E[X\mid Y = y]$. Note that the statement in the OP's question that $E[X\mid Y = y]$ is a function of $x$ is incorrect: $E[X\mid Y = y]$ is a real-valued function of $y$.

On the other hand, $E[X\mid Y]$ is a random variable $Z$ which happens to be a function of the random variable $Y$. Now, whenever we write $Z = h(Y)$, what we mean is that whenever the random variable $Y$ happens to have value $y$, the random variable $Z$ has value $h(y)$. Whenever $Y$ takes on value $y$, the random variable $Z = E[X\mid Y]$ takes on value $E[X\mid Y = y] = g(y)$. Thus, $E[X\mid Y]$ is just another name for the random variable $Z = g(Y)$. Note that $E[X\mid Y]$ is a function of $Y$ (not $y$ as in the statement of the OP's question).

As a a simple illustrative example, suppose that $X$ and $Y$ are discrete random variables with joint distribution

$$\begin{align} P(X=0,Y=0) &= 0.1,~~ P(X=0, Y=1) = 0.2,\\ P(X=1,Y=0) &= 0.3,~~ P(X=1,Y=1) = 0.4. \end{align}$$ Note that $X$ and $Y$ are (dependent) Bernoulli random variables with parameters $0.7$ and $0.6$ respectively, and so $E[X] = 0.7$ and $E[Y] = 0.6$. Now, note that conditioned on $Y=0$, $X$ is a Bernoulli random variable with parameter $0.75$ while conditioned on $Y = 1$, $X$ is a Bernoulli random variable with parameter $\frac 23$. If you cannot see why this is so immediately, just work out the details: for example $$P(X=1\mid Y = 0) = \frac{P(X=1, Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.3}{0.4} = \frac 34,\\ P(X=0\mid Y = 0) = \frac{P(X=0, Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.1}{0.4} = \frac 14,$$ and similarly for $P(X=1\mid Y=1)$ and $P(X=0\mid Y = 1)$. Hence, we have that $$E[X\mid Y = 0] = \frac 34, \quad E[X \mid Y = 1] = \frac 23.$$ Thus, $E[X\mid Y = y] = g(y)$ where $g(y)$ is a real-valued function enjoying the properties: $$g(0) = \frac 34, \quad g(1) = \frac 23.$$

On the other hand, $E[X\mid Y] = g(Y)$ is a random variable that takes on values $\frac 34$ and $\frac 23$ with probabilities $0.4 = P(Y=0)$ and $0.6 = P(Y=1)$ respectively. Note that $E[X\mid Y]$ is a discrete random variable but is not a Bernoulli random variable.

As a final touch, note that

$$E[Z] = E\left[E[X\mid Y]\right] = E[g(Y)] = 0.4\times \frac 34 + 0.6\times \frac 23 = 0.7 = E[X].$$ That is, the expected value of this function of $Y$, which we computed using only the marginal distribution of $Y$, happens to have the same numerical value as $E[X]$ !! This is an illustration of a more general result that many people believe is a LIE: $$E\left[E[X\mid Y]\right] = E[X].$$

Sorry, that's just a small joke. LIE is an acronym for Law of Iterated Expectation which is a perfectly valid result that everyone believes is the truth.

$E(X|Y)$ is the expectation of a random variable: the expectation of $X$ conditional on $Y$. $E(X|Y=y)$, on the other hand, is a particular value: the expected value of $X$ when $Y=y$.

Think of it this way: let $X$ represent the caloric intake and $Y$ represent height. $E(X|Y)$ is then the caloric intake, conditional on height - and in this case, $E(X|Y=y)$ represents our best guess at the caloric intake ($X$) when a person has a certain height $Y = y$, say, 180 centimeters.

$E(X|Y)$ is expected value of values of $X$ given values of $Y$ $E(X|Y=y)$ is expected value of $X$ given the value of $Y$ is $y$

Generally $P(X|Y)$ is probability of values $X$ given values $Y$, but you can get more precise and say $P(X=x|Y=y)$, i.e. probability of value $x$ from all $X$'s given the $y$'th value of $Y$'s. The difference is that in the first case it is about "values of" and in the second you consider a certain value.

You could find the diagram below helpful.