Зв'язок між гаммою та розподіленням у квадраті

Якщо де , тобто всі є звичайними випадковими змінними нульового значення з однаковими варіаціями, тоді

Y = \sum_{i = 1}^{N} X_{i}^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{N}X_i^2$

X_{i} \sim N (0, σ^{2})

$X_i \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$

X_{i}

$X_i$

Y \sim Γ (\frac{N}{2}, 2 σ^{2}) .

$Y \sim \Gamma\left(\frac{N}{2},2\sigma^2\right).$

Я знаю , що хі-квадрат розподіл є окремим випадком гамма - розподілу, але не може отримати розподіл хі-квадрат для випадкової величини . Будь-яку допомогу, будь ласка? $Y$

chi-squared gamma-distribution

— кака
джерело

Якесь тло

Розподіл визначається як розподіл, що є результатом підсумовування квадратів незалежних випадкових величин , так що: де $\chi^2_n$ $n$ $\mathcal{N}(0,1)$

If X_{1}, \dots, X_{n} \sim N (0, 1) and are independent, then Y_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} \sim χ_{n}^{2},

$\text{If }X_1,\ldots,X_n\sim\mathcal{N}(0,1)\text{ and are independent, then }Y_1=\sum_{i=1}^nX_i^2\sim \chi^2_n,$

X \sim Y

$X\sim Y$ позначає, що випадкові величини

мають однаковий розподіл (EDIT: буде позначати як розподіл у квадраті Chi з ступенями свободи, так і випадкову змінну з таким розподілом ). Тепер pdf розподілу є Отже, дійсно розподіл є особливим випадком розподілу з pdf

X

$X$

Y

$Y$ $\chi_n^2$ $n$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

f_{χ^{2}} (x; n) = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2})} x^{\frac{n}{2} - 1} e^{- \frac{x}{2}}, for x \geq 0 (and 0 otherwise).

$f_{\chi^2}(x;n)=\frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

Γ (p, a)

$\Gamma(p,a)$

f_{Γ} (x; a, p) = \frac{1}{a^{p} Γ (p)} x^{p - 1} e^{- \frac{x}{a}}, for x \geq 0 (and 0 otherwise).

$f_\Gamma(x;a,p)=\frac{1}{a^p\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-\frac{x}{a}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$ Тепер зрозуміло, що .

χ_{n}^{2} \sim Γ (\frac{n}{2}, 2)

$\chi_n^2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\right)$

Ваша справа

Різниця у вашому випадку полягає в тому, що у вас є звичайні змінні із загальними дисперсіями . Але подібний розподіл виникає у тому випадку: тому слід за розподілом, що виникає внаслідок множення випадкової величини на . Це легко отримати при перетворенні випадкових змінних ( ): Зауважте, що це те саме, що говорити, що $X_i$ $\sigma^2\neq1$

Y_{2} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} = σ^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{X_{i}}{σ})}^{2} \sim σ^{2} χ_{n}^{2},

$Y_2=\sum_{i=1}^nX_i^2=\sigma^2\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i}{\sigma}\right)^2\sim\sigma^2\chi_n^2,$

Y

$Y$

χ_{n}^{2}

$\chi_n^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

Y_{2} = σ^{2} Y_{1}

$Y_2=\sigma^2Y_1$

f_{σ^{2} χ^{2}} (x; n) = f_{χ^{2}} (\frac{x}{σ^{2}}; n) \frac{1}{σ^{2}} .

$f_{\sigma^2\chi^2}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$

Y_{2} \sim Γ (\frac{n}{2}, 2 σ^{2})

$Y_2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\sigma^2\right)$ так може бути поглинений гамма в параметра.

σ^{2}

$\sigma^2$

a

$a$

Примітка

Якщо ви хочете вивести ПДФ з нуля (який також відноситься до ситуації з при зміні незначного), ви можете стежити за перші кроком тут для , використовуючи стандартне перетворення для випадкових змінних. Тоді ви можете або виконати наступні кроки, або скоротити доказ, покладаючись на властивості згортки розподілу Гамма та його зв’язок із описаним вище . $\chi^2_n$ $\sigma^2\neq1$ $\chi_1^2$ $\chi^2_n$

— епсілон
джерело

Приємний опис (+1). Але я сумніваюся, коли ви говорите, що ймовірно, це має бути деІ нарешті,

Y_{2} \sim σ^{2} χ_{n}^{2},

$Y_2\sim\sigma^2\chi_n^2,$

Y_{2} = σ^{2} U,

$Y_2=\sigma^2U,$

U \sim χ_{n}^{2} .

$U\sim\chi_n^2.$

f_{σ^{2} U} (x; n) = f_{χ^{2}} (\frac{x}{σ^{2}}; n) \frac{1}{σ^{2}} .

$f_{\sigma^2 U}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$

— кака

Дякую @kaka. По-перше, насправді під позначенням я маю на увазі випадкову змінну, яка виникає, коли ви множите змінну на , тому ми обидва говоримо те саме. .. З другого пункту нагадайте, що - позначення, яке я використовував для позначення щільності (параметр з'являється як другий аргумент). З вашим позначенням щільність буде читатися як , що також добре, але ви повторюєте двічі .

σ^{2} χ_{n}^{2}

$\sigma^2\chi_n^2$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

σ^{2}

$\sigma^2$

f_{χ^{2}} (x; n)

$f_{\chi^2}(x;n)$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

n

$n$

σ^{2} χ_{n}^{2}

$\sigma^2\chi^2_n$

f_{χ_{n}^{2}} (x; n)

$f_{\chi_n^2}(x;n)$

n

$n$

— epsilone

Але в першому рівнянні ви визначили як розподіл

X_{n}^{2}

$\mathcal{X}_n^2$

\sum_{i = 1}^{N} X_{i}^{2} .

$\sum_{i=1}^N X_i^2.$

— кака

Так, і в рівнянні для у є дисперсія , тому є як в першому рівнянні.

Y_{2}

$Y_2$

X_{i}

$X_i$

σ^{2}

$\sigma^2$

\frac{X_{i}}{σ}

$\frac{X_i}{\sigma}$

X_{i}

$X_i$

— epsilone

χ_{n}^{2}

$\chi_n^2$ позначає функцію розподілу квадрата Chi з ступенями свободи, а також випадкову змінну, яка слідує за таким розподілом. Це може бути зловживання нотацією, але сенс повинен бути зрозумілим. Я відредагую відповідь, щоб все-таки уточнити її.

n

$n$

— epsilone