Багатовимірна ортогональна регрес полінома?

Як засіб мотивації питання розглянемо проблему регресування, яку ми прагнемо оцінити $Y$ з використанням спостережуваних змінних $\{ a, b \}$

Роблячи багатофакторний поліноміальний регрес, я намагаюся знайти оптимальну парамітизацію функції

f (y) = c_{1} a + c_{2} b + c_{3} a^{2} + c_{4} a b + c_{5} b^{2} + \dots

$f(y)=c_{1}a+c_{2}b+c_{3}a^{2}+c_{4}ab+c_{5}b^{2}+\cdots$

які найкраще відповідають даним у сенсі квадратного значення.

Проблема з цим, однак, полягає в тому, що параметри $c_i$ не є незалежними. Чи є спосіб зробити регресію за іншим набором "базисних" векторів, ортогональних? Це має багато очевидних переваг

1) коефіцієнти більше не співвідносяться. 2) значення значень $c_i$ самі по собі вже не залежать від ступеня коефіцієнтів. 3) Це також має обчислювальну перевагу в тому, що можна скидати умови більш високого порядку для більш грубого, але все-таки точного наближення до даних.

Це легко досягти в одному випадку змінної, використовуючи ортогональні многочлени, використовуючи добре вивчений набір, такий як Ченошевські поліноми. Однак не очевидно (для мене все одно) як це узагальнити! Мені сталося, що я можу знешкодити поліноми чебишев попарно, але я не впевнений, що це математично правильно робити.

Ваша допомога вдячна

regression

— габго
джерело

Як щодо тензорно-добуткової основи ваших одновимірних многочленів? Це звучить як те, на що ви натякали, і вони будуть ортогональними.

— кардинал

Я думаю, що це задовільна відповідь як питання :)

— габго

Ви з цим кудись потрапляли? Я також шукаю рішення для багатоваріантної регресії за допомогою ортогональних многочленів. Дякую

— Збентежений

Задля завершення роботи (і щоб покращити статистику цього веб-сайту, га), я маю задатися питанням, чи не буде цей документ також відповісти на ваше запитання?

РЕЗЮМЕ: Ми обговорюємо вибір базису полінома для наближення поширення невизначеності за допомогою складних моделюючих моделей, здатних виводити похідну інформацію. Наша робота є частиною більших наукових зусиль щодо кількісного визначення невизначеності з використанням методів вибірки, доповнених похідною інформацією. Цей підхід має нові виклики порівняно зі стандартною поліноміальною регресією. Зокрема, ми показуємо, що багатоваріантна ортогональна поліномальна основа тензорного добутку довільного ступеня більше не може бути побудована. Ми надаємо достатні умови для існування ортонормального набору цього типу, основи для простору, який він охоплює. Ми демонструємо переваги основи в поширенні матеріальної невизначеності за спрощеною моделлю теплопередачі в ядрі ядерного реактора. У порівнянні з поліноміальною основою тензорного продукту Ерміт,

В іншому випадку тензорно-продуктова основа одновимірних многочленів - це не лише відповідна техніка, але і єдина, яку я можу знайти для цього.

— Арті
джерело