Чому розподіл дисперсії вибірки є розподілом у квадраті?

Заява

Розподіл вибірки дисперсії вибірки - це розподіл у квадратичній формі зі ступенем свободи, рівним , де - розмір вибірки (враховуючи, що випадкова змінна величина, що становить інтерес, зазвичай розподіляється). $n-1$ $n$

Джерело

Моя інтуїція

Це ніби має для мене інтуїтивний сенс 1) тому, що тест чі-квадрата виглядає як сума квадрата і 2) тому, що розподіл Chi-квадрата - це лише сума нормального розподілу у квадраті. Але все-таки я не дуже добре розумію це.

Питання

Чи твердження правдиве? Чому?

— Remi.b
джерело

Початкове твердження в цілому помилкове (помилкове з двох окремих причин). Яке джерело (ваше посилання відсутнє), і що воно насправді говорить?

— Glen_b -Встановити Моніку

На моє запитання також виникає реакція на запитання-відповідь у вступному класі статистики, для якого захищений доступ. Питання: "Який розподіл є розподілом вибірки дисперсії довжини крила у мух?" а відповідь - "Розподіл у квадраті"

— Remi.b

Цитоване твердження у вашому першому коментарі все ще помилкове. Коментар в кінці джерела правдивий (з необхідними припущеннями): " коли вибірки розміру n беруть із звичайного розподілу з дисперсією , розподіл вибірки має чі-квадратний розподіл із n-1 ступенем свободи. $\sigma^2$ $(n-1)s^2/\sigma^2$ "... Відповідь на запитання у вашому другому коментарі також буде хибною - якщо, напевно, хтось не показав, що довжина крила зазвичай розподілений. (Яка підстава може бути твердженням, що це правда?)

— Glen_b -Встановити Моніку

Отже, припустимо, що крила звичайно розподілені, тоді розподіл вибірки буде розподілено чі-квадратом. Чому так?

(n - 1) s^{2} / σ^{2}

$(n-1)s^2/\sigma^2$

— Remi.b

Чи знаєте ви, що сума квадратів iid N (0,1) випадкових величин chi-квадрат з df? Або це та частина, яку ви шукаєте доказ?

k

$k$

k

$k$

— Glen_b -Встановіть Моніку

[Я вважаю з обговорення у вашому запитанні, що ви раді прийняти як факт, що якщо є незалежними однаково розподіленими випадковими змінними, то .] $Z_i, i=1,2,\ldots,k$ $N(0,1)$ $\sum_{i=1}^{k}Z_i^2\sim \chi^2_k$

Формально потрібний результат випливає з теореми Кокрана . (Хоча це може бути показано і іншими способами)

Менш формально, врахуйте, що якби ми знали популяцію, і оцінили різницю щодо неї (а не про середню вибірку): , тоді , ( ), який буде разів випадкова величина . $s_0^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$ $s_0^2/\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}Z_i^2$ $Z_i=(X_i-\mu)/\sigma$ $\frac{1}{n}$ $\chi^2_n$

Той факт, що використовується середнє значення вибірки, замість середнього значення сукупності ( ) робить суму квадратів відхилень меншою, але точно таким чином, що (про що див. теорему Кокрана). Отже, замість нас зараз . $Z_i^*=(X_i-\bar{X})/\sigma$ $\sum_{i=1}^{n}(Z_i^*)^2\,\sim\chi^2_{n-1}$ $ns_0^2/\sigma^2\sim \chi^2_n$ $(n-1)s^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

@Glen_b Чи можете ви дати посилання на інші докази цього факту? Я дуже хочу це знати.

— Генрі.Л

Який із кількох фактів ви підтверджуєте?

— Glen_b -Встановіть Моніку

@Glen_b Єдиними двома методами, окрім теореми Кокрана-Мадова, що підтверджують той факт, що дисперсія вибірки та середнє значення вибірки є статистично незалежними при розподілі c-квадрата: (1) Канонічна основа Шеффа (Scheffe, 1959) (2) Методи кумуляції (Або mgfs, що їй рівнозначно). Якщо ви знаєте більше методів, я дуже хочу їх знати.

— Генрі.L

Ще один коментар, який я хочу додати, - це те, що використовується дуже низьке значення вибірки, але іноді ми хочемо фіксовану потужність, незалежну від фіксованої дисперсії, цей метод замінюється двоступеневим методом Штейна (1949).

— Генрі.Л

Чого я не отримую щодо цієї відповіді, це те, що не є незалежним від усіх , тож як ми можемо застосувати теорему Кокрана? там сказано, що всі вони повинні бути незалежними.

\bar{X}

$\bar X$

X_{i}^{'} s

$X_i's$

— user56834