Яке співвідношення незалежних розподілів дає нормальне розподіл?

12

Співвідношення двох незалежних нормальних розподілів дає розподіл Коші. T-розподіл - це нормальний розподіл, розділений на незалежний розподіл chi-квадрата. Співвідношення двох незалежних чі-квадратних розподілів дає F-розподіл.

Я шукаю співвідношення незалежних безперервних розподілів, яке дає нормально розподілену випадкову змінну із середнім та дисперсією ? $\mu$ $\sigma^2$

Можливо, існує нескінченний набір можливих відповідей. Чи можете ви дати мені кілька таких можливих відповідей? Я особливо вдячний, якщо два незалежних розподілу, коефіцієнт яких обчислюється, однакові або, принаймні, мають подібну дисперсію.

— Remi.b
джерело

2

Хоча стаття у Вікіпедії про розподіл коефіцієнтів не містить прикладів справи, до якої ви прагнете, це цікаве прочитання.

— Аврахам

2

Досить особливим випадком є стандартний нормальний, і незалежно кожен з ймовірністю , то , і мають однакове середнє значення та дисперсію, а - нормально розподілений.

X

$X$

Y

$Y$

\pm 1

$\pm1$

\frac{1}{2}

$\frac12$

X

$X$

Y

$Y$

\frac{X}{Y}

$\frac{X}{Y}$

\frac{X}{Y}

$\frac{X}{Y}$

— Генрі

1

" Співвідношення двох незалежних розподілів chi-квадрата дає F-розподіл " --- ну, не зовсім. Він дає бета-простір. Для отримання F потрібно масштабувати кожен квадрат квадратів за його df.

— Glen_b -Встановіть Моніку

2

Ряд речей змушує мене зовсім не переконатися, що обов'язково можна виконати всі ваші умови.

— Glen_b -Встановіть Моніку

1

беручи до прикладу метод генерації нормальних змінних (наприклад, Box-Muller) (який використовує метод кола), я б сказав, що немає співвідношень рівномірних розподілів, які дають нормальний розподіл (припускаючи, що просять рівномірні розподіли)

— Нікос М.

5

Нехай демає експоненціальний розподіл із середнімрівнемтаз однаковою ймовірністю. Нехай $Y_1 = Z \sqrt{E}$ $E$ $2 \sigma^2$ $Z = \pm 1$ де. Припустимо, щовзаємно незалежні, тодінезалежний віда. Отже, маємо $Y_2 = 1 / \sqrt{B}$ $B \sim \mbox{Beta}(0.5, 0.5)$ $(Z, E, B)$ $Y_1$ $Y_2$ $Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

незалежно від ; $Y_1$ $Y_2$
Обидва безперервні; такий як
. $Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

Я не зрозумів, як отримати . Складніше зрозуміти, як це зробити, оскільки проблема зводиться до знаходження і , незалежних таким, що $\text{Normal}(\mu, \sigma^2)$ $A$ $B$ який зовсім трохи складнішеніж зробитидля незалежногоі.

\frac{А - Б мк}{Б} \sim Нормальний (0, 1)

$\frac{A - B \mu}{B} \sim \text{Normal}(0, 1)$

A / B \sim Normal (0, 1)

$A/B \sim \text{Normal}(0,1)$

A

$A$

B

$B$

— хлопець
джерело

1

Якщо це правда, це приголомшливо.

— Ніл Г

2

@NeilG це правда; продукт моєї бета-експоненції - це гамма з формою 1/2 (через те, як можна створити бета-версію та незалежну гаму, використовуючи гами). Тоді квадратний корінь цього є пів-нормальним, використовуючи той факт, що квадрат нормалі є chi-квадрата.

— хлопець

1

Нещодавно у нас виникло запитання щодо продукту з двох змінних, який нормально розподілений (я не можу його знайти назад). На це питання було зауваження або відповідь, що стосується перетворення Box-Muller, який обчислює нормальне розподіл (а точніше двоваріантний нормальний розподіл) з добутку двох перетворених рівномірних розподілених змінних. Ця відповідь багато в чому стосується цього, але займає зворотну сторону однієї з цих змінних у перетворенні Box-Muller. куб .: @kjetilbhalvorsen

— Sextus

1

Я особливо вдячний, якщо два незалежних розподілу, коефіцієнт яких обчислюється, однакові

Там немає ні можливості того, що нормальний змінний може бути записана у вигляді відносини двох незалежних змінних з таким же розподілом або сімействами розподілу (такі , як F-розподіл , яке представляє собою відношення двох масштабується $\chi^2$ розподілених змінними або Коші-розподіл , яке є відношення двох нормальних розподілених змінних із нульовим середнім).

Припустимо, що: для будь-якого $A, B \sim F$ де $F$ - те саме сімейство розподілу чи розподілу, у нас
$X = \frac{A}{B} \sim N (μ, σ^{2})$ $X = \frac{A}{B} \sim N(\mu,\sigma^2)$
Ми також повинні бути в змозі повернути $A$ і $B$ (якщо нормальна змінна може бути записана як відношення двох незалежних змінних з однаковим сімейством розподілу чи розподілу, то порядок можна змінити)
$\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N (μ, σ^{2})$ $\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N(\mu,\sigma^2)$
Але якщо $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ то $X^{-1} \sim N(\mu,\sigma^2)$ не може бути істинним (обернення нормальної розподіленої змінної не є іншою нормальною розподіленою змінною).

Більш широкий висновок: Якщо змінні будь-якого сімейства розподілів $\mathcal{F}_X$ можна записати як відношення змінних в іншому сімействі розподілів $\mathcal{F}_Y$ то повинно бути, що сімейство $\mathcal{F}_X$ закрите під прийняття зворотного (тобто для будь-якої змінної, розподіл якої у $\mathcal{F}_X$ розподіл його зворотного також буде у $\mathcal{F}_X$ ).

Наприклад, зворотна змінна Коші також розподілена Коші. Зворотна F-розподілена змінна також F-розподілена.

Це "якщо" не є "iff", навпаки не відповідає дійсності. Коли $X$ і $1/X$ знаходяться в одній родині розподілу, то не завжди це може бути записано як розподіл співвідношення з номінатором і знаменником з одного і того ж сімейства розподілу.

Контрприклад: Ми можемо уявити сім’ї розподілу, для яких для будь-якого $X$ у сім’ї $1/X$ в одній сім’ї, але у нас немає $P(X=1)=0$ . Це суперечить тому, що для розподілу відношення, де знаменник і номінатор мають однаковий розподіл, ми повинні мати $P(X=1) \neq 0$ (а щось подібне можна виразити для безперервних розподілів, як інтеграл по лінії X / Y = 1 у розсіювачі X, Y має деяку ненульову щільність, коли X і Y мають однаковий розподіл і є незалежними).

— Секст Емпірік
джерело

Не бачиш цього. Мені здається, що лише тому, що

і

є нормальними, це не робить

A / D

$A/D$

B / C

$B/C$

нормальний.

\frac{A / D}{B / C}

$\frac{A/D}{B/C}$

— Карл

Краще. Тепер це має сенс.

— Карл

1

Я не розумію, як друге твердження випливає з першого. Якщо є такі

, що їхній коефіцієнт є нормальним, чому випливає, що їхній коефіцієнт в іншому порядку також повинен бути нормальним? Питання не задавало сімейство розподілу таким чином, щоб коефіцієнт усіх пар елементів був нормальним.

A, B

$A, B$

— Ніл Г

1

Я не розумію, що ти кажеш. В ідеалі ваша відповідь буде цілісним аргументом, не вимагаючи від когось читати правки. Зараз здається, що ваше друге твердження ("ми також повинні мати") не випливає з першого.

— Ніл Г

1

@kjetilbhalvorsen як це потрібно переглянути? Я відповів на частину запитання, яка вказує "Я особливо вдячний, якщо два незалежних розподілу, коефіцієнт яких обчислюється, однакові" . Я не бачу, як відповідь хлопця ставиться до цього.

— Секст

0

Ну ось одне, але я цього не докажу, покажу лише в симуляції.

Зробіть два бета-розподіли з однаковими великими параметрами форми (тут, ), відніміть 1/2 від -значень одного з них і назвіть його "чисельником". Це дає нам PDF з максимальним діапазоном $\text{Beta}(200,200)$ $n=40,000$ $x$ , але оскільки параметри форми настільки великі, ми ніколи не досягаємо максимальних значень діапазону. Тут представлена гістограма з«чисельник» $\left(-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right)$ $n=40,000$

Далі ми називаємо другий бета-розподіл "знаменником", не віднімаючи нічого, тому він має звичайний діапазон бета-розподілу і один з таких виглядає так $(0,1)$

Знову ж таки, оскільки форми настільки великі, ми не підходимо до максимального діапазону зі значеннями. Далі ми побудуємо числовий як PDF з накладеним нормальним розподілом. $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$

Тепер у цьому випадку нормальний результат розподілу має і тести на нормальність виглядають так $\mu \to -0.0000204825,\sigma \to 0.0501789$

(\begin{array}{ccc} Статистика & P-значення \\ Андерсон-Дарлінг & 0,799786 & 0,481181 \\ Барінгаус-Гензе & 1.40585 & 0,0852017 \\ Крамер-фон Мізес & 0.123145 & 0,482844 \\ Jarque-Bera ALM & 4.48103 & 0.106404 \\ Колмогоров-Смирнов & 0,00452328 & 0,386335 \\ Койпер & 0,00798063 & 0.109127 \\ Мардія комбінована & 4.48103 & 0.106404 \\ Куртоз Мардії & 1.53849 & 0,123929 \\ Мардія косоокість & 2.09399 & 0,147879 \\ Пірсон χ^{2} & 134.353 & 0,571925 \\ Ватсон U^{2} & 0.113831 & 0,211187 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.799786 & 0.481181 \\ \text{Baringhaus-Henze} & 1.40585 & 0.0852017 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.123145 & 0.482844 \\ \text{Jarque-Bera ALM} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00452328 & 0.386335 \\ \text{Kuiper} & 0.00798063 & 0.109127 \\ \text{Mardia Combined} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Mardia Kurtosis} & 1.53849 & 0.123929 \\ \text{Mardia Skewness} & 2.09399 & 0.147879 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 134.353 & 0.571925 \\ \text{Watson }U^2 & 0.113831 & 0.211187 \\ \end{array} \right)$

Іншими словами, ми не можемо довести, що співвідношення не є нормальним, навіть намагаючись зробити це.

Тепер чому? З мого боку інтуїція, яка в мене надмірна. Доказ залишається читачеві, якщо такий існує (можливо, через обмеження методу моментів, але знову ж таки, це просто інтуїція).

$\text{Beta}(20,20)$ $\text{Beta}(20,20)-\frac{1}{2}$ $t$ $\mu \to -0.000251208,\sigma \to 0.157665,\text{df}\to 33.0402$

\begin{array}{lll} Статистика & P-значення \\ Андерсон-Дарлінг & 0,275262 & 0,955502 \\ Крамер-фон Мізес & 0,0351108 & 0,956524 \\ Колмогоров-Смирнов & 0,00320936 & 0.804486 \\ Койпер & 0,00556501 & 0,657146 \\ Пірсон χ^{2} & 145.077 & 0,323168 \\ Ватсон U^{2} & 0,0351042 & 0,878202 \end{array}

$\begin{array}{l|ll} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \hline \text{Anderson-Darling} & 0.275262 & 0.955502 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0351108 & 0.956524 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00320936 & 0.804486 \\ \text{Kuiper} & 0.00556501 & 0.657146 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 145.077 & 0.323168 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0351042 & 0.878202 \\ \end{array}$

$\dfrac{\mathcal{N}(0,1)}{\mathcal{N}(10,1/1000)}\to$ $t$ $\mu \to -0.0000535722,\sigma \to 0.0992765,\text{df}\to 244.154$

(\begin{array}{ccc} Статистика & P-значення \\ Андерсон-Дарлінг & 0.501677 & 0.745102 \\ Крамер-фон Мізес & 0,0696824 & 0,753515 \\ Колмогоров-Смирнов & 0,00355688 & 0,692225 \\ Койпер & 0,00608382 & 0,501133 \\ Пірсон χ^{2} & 142,88 & 0,370552 \\ Ватсон U^{2} & 0,0603207 & 0,590369 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.501677 & 0.745102 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0696824 & 0.753515 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00355688 & 0.692225 \\ \text{Kuiper} & 0.00608382 & 0.501133 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 142.88 & 0.370552 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0603207 & 0.590369 \\ \end{array} \right)$

— Карл
джерело

5

Ви явно дуже близькі до нормального розподілу. Однак це зовсім не те саме, що мати нормальний розподіл, і я не вірю, що відношення централізованої симетричної бета-версії до звичайної симетричної бета-версії з тими ж параметрами коли-небудь буде фактично нормальним. Мені б дуже цікаво помилитися з цього приводу.

— Glen_b -Встановіть Моніку

2

Ваше рішення точно не є нормальним. Ви можете узагальнити такий підхід: візьміть будь-який розподіл, який є приблизно нормальним, і розділіть його на розподіл з його ймовірністю, зосередженою поблизу ненульового числа. Результат (очевидно) буде близький до нормального - але він все одно не буде нормальним. Застосування купу тестів непереконливо, оскільки все це свідчить про те, що ви не генерували достатньо великих зразків, щоб продемонструвати ненормальність.

— whuber

1

10^{8}

$10^8$

2

Дозвольте мені дійти до суті справи, то: (1) спростування нормальності - це проста вправа в цілісному наближенні - тут не потрібно наводити деталей. Ви можете, наприклад , легко довести, що 200-й момент є нескінченним. (2) Ваша відповідь плутає розподіли зі зразками. Саме ця фундаментальна плутанина я заперечую; саме тому я вважаю, що ця відповідь є більш оманливою, ніж корисною. До речі, я не написав останнього коментаря злегка: я виконав тест. Я робив це не з суперкомп'ютером, а з робочою станцією для ПК десятиліття, і весь процес зайняв лише кілька секунд.

— whuber

1

@whuber Яке наближення ви тестуєте? Перший, другий чи третій? До речі, якщо вони є лише наближеннями, так і нехай буде. Я пропоную лише в обмежувальному випадку, щоб вони могли бути точними. Вся статистика є приблизною, тому я не поділяю ваші побоювання.

— Карл

-3

$X_1^G,X_2^G$ $X^C_{\gamma}$

\frac{Х_{1}^{Г}}{Х_{2}^{Г}} = Х_{γ}^{С}

$\frac{X_1^G}{X_2^G} = X^C_{\gamma}$

$X^C_{\gamma}\sim1/X^C_{1/\gamma}$ $\gamma$

Х_{1}^{Г} = Х_{2}^{Г} / Х_{1 / γ}^{С}

$X_1^G= X_2^G/X^C_{1/\gamma}$

$\mu$ $\mu$ $\sigma$ $\gamma\rightarrow1/\gamma$

— чудо
джерело

4

Будь ласка, протестуйте свою гіпотезу, або шляхом явного розрахунку співвідношення, або за допомогою моделювання. Або покаже, що ваша претензія неправильна. Помилка полягає в припущенні, що коефіцієнти розподілу можна "скасувати", щоб "вирішити" чисельник.

— whuber

1

X_{2}^{G}

$X_2^G$