Інтуїція на хвилини про середню кількість розподілу?

Чи може хтось запропонувати інтуїцію, чому вищі моменти розподілу ймовірностей , як третій та четвертий моменти, відповідають косості та куртозу відповідно? Зокрема, чому відхилення від середнього значення, піднятого до третьої чи четвертої сили, в кінцевому підсумку перетворюється на міру косості та куртозу? Чи є спосіб пов'язати це з третьою чи четвертою похідними функції? $p_X$

Розглянемо це визначення косості та куртозу:

\begin{matrix} Skewness (X) = E [(X - μ_{X})^{3}] / σ^{3}, \\ Kurtosis (X) = E [(X - μ_{X})^{4}] / σ^{4} . \end{matrix}

$\begin{matrix} \text{Skewness}(X) = \mathbb{E}[(X - \mu_{X})^3] / \sigma^3, \\[6pt] \text{Kurtosis}(X) = \mathbb{E}[(X - \mu_{X})^4] / \sigma^4. \\[6pt] \end{matrix}$

У цих рівняннях ми піднімаємо нормоване значення до потужності та приймаємо його очікуване значення. Мені незрозуміло, чому підвищення нормованої випадкової величини до сили чотирьох дає "пік" або чому піднесення нормалізованої випадкової величини до сили трьох повинно надати "косості". Це здається магічним і таємничим! $(X-\mu)/\sigma$

— user248237
джерело

Моя інтуїція з перекосом - зазначити, що третя сила зберігає негативи. Отже, якщо у вас більше великих негативних відхилень від середнього, ніж у позитивних (кажучи дуже просто), тоді ви закінчуєте негативне перекошене розподіл. Моя інтуїція куртозу полягає в тому, що четверта потужність підсилює великі відхилення від середнього набагато більше, ніж друга потужність. Ось чому ми вважаємо куртоз як міру того, наскільки жирні хвости розподілу. Зауважимо, що дуже великі можливості x від середнього mu піднімаються до четвертої сили, що робить їх посиленими, але ігнорує знак.

— wolfsatthedoor

Дивіться stats.stackexchange.com/questions/84158/…

— whuber

Оскільки 4-а влада набагато більше постраждала від чужих людей, ніж 1-я сила, я очікую, що ви не отримаєте невеликого погляду від четвертого моменту щодо медіани - принаймні, якщо мета була стійкістю.

— Glen_b -Встановіть Моніку

По-перше, зауважте, що ці вищі моменти не обов'язково є хорошими / надійними заходами асиметрії / піку. Зважаючи на це, я думаю, що промені дають добру фізичну інтуїцію протягом перших трьох моментів, наприклад, середнє = баланс / масштаб пучка , дисперсія = згин консолі , косость = простір .

— GeoMatt22

Ви маєте рацію, тлумачення куртозу як вимірювання "піку" є магічним та загадковим. Це тому, що це зовсім не так. Куртоз не говорить вам абсолютно нічого про піку. Він вимірює лише хвости (лихі). Неважко математично довести, що спостереження біля піку вносять мізерну суму в міру куртозу, незалежно від того, чи є вершина плоскою, шипоподібною, бімодальною, синусоїдальною або дзвінкоподібною.

— Пітер Вестфалл

Відповіді:

Для цих визначень є вагома причина, яка стає зрозумілішою, коли ви дивитесь на загальну форму моментів стандартизованих випадкових величин. Щоб відповісти на це запитання, спочатку розглянемо загальну форму $n$ го стандартизованого центрального моменту : $^\dagger$

ϕ_{n} = E [(\frac{X - E [X]}{S [X]})^{n}] .

$\phi_n = \mathbb{E} \Bigg[ \Bigg( \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{S}[X]} \Bigg)^n \text{ } \Bigg].$

$\phi_1=0$ $\phi_2=1$ $n \geqslant 3$

\begin{aligned} ϕ_{n}^{+} & = E [| \frac{X - E [X]}{S [X]} |^{n} | X > E [X]] \cdot P (X > E [X]), \\ ϕ_{n}^{-} & = E [| \frac{X - E [X]}{S [X]} |^{n} | X < E [X]] \cdot P (X < E [X]) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \phi_n^+ &= \mathbb{E} \Bigg[ \Bigg| \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{S}[X]} \Bigg|^n \text{ } \Bigg| X > \mathbb{E}[X] \Bigg] \cdot \mathbb{P}(X > \mathbb{E}[X]), \\[8pt] \phi_n^- &= \mathbb{E} \Bigg[ \Bigg| \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{S}[X]} \Bigg|^n \text{ } \Bigg| X < \mathbb{E}[X] \Bigg] \cdot \mathbb{P}(X < \mathbb{E}[X]). \end{aligned} \end{equation}$

Це негативні величини, які дають ю абсолютну потужність стандартизованої випадкової величини, що обумовлює її вище або нижче її очікуваного значення. Зараз ми розкладемо стандартизований центральний момент на ці частини. $n$

Непарні значення вимірюють перекос у хвостах: $n$ Для будь-якого непарного значення ми маємо непарну потужність у рівнянні моменту, і тому ми можемо записати стандартизований центральний момент як . З цієї форми ми бачимо, що стандартизований центральний момент дає нам різницю між ю абсолютною потужністю стандартизованої випадкової величини, що умовно перебуває вище або нижче її середнього. $n \geqslant 3$ $\phi_n = \phi_n^+ - \phi_n^-$ $n$

Таким чином, для будь-якої непарної потужності ми отримаємо міру, яка дає позитивні значення, якщо очікувана абсолютна потужність стандартизованої випадкової величини вище для значень вище середнього, ніж для значень нижче середнього, і дає негативні значення, якщо очікувані абсолютна потужність нижча для значень вище середнього, ніж для значень нижче середнього. Будь-яка з цих величин розумно може розглядатися як міра типу "косості", при цьому більш високі потужності надають більшу відносну вагу значень, далеких від середніх. $n \geqslant 3$

Оскільки це явище має місце для кожної непарної сили , природним вибором для архетипної міри "косості" є визначення як косості. Це нижчий стандартизований центральний момент, ніж вищі непарні сили, і природно досліджувати моменти нижчого порядку, перш ніж розглядати моменти вищого порядку. У статистиці ми прийняли конвенцію щодо позначення цього стандартизованого центрального моменту як косості , оскільки саме цей аспект розподілу вимірюється саме найнижчим стандартизованим центральним моментом. (Вищі непарні сили також вимірюють типи косості, але з більшим і більшим акцентом на значення, далекі від середнього.) $n \geqslant 3$ $\phi_3$

Рівні значення вимірюють жирність хвостів: $n$ Для будь-якого парного значення ми маємо рівну потужність у рівнянні моменту, і тому ми можемо записати стандартизований центральний момент як . З цієї форми ми бачимо, що стандартизований центральний момент дає нам суму ї абсолютної потужності стандартизованої випадкової величини, умовна для того, щоб вона була вище або нижче її середнього. $n \geqslant 3$ $\phi_n = \phi_n^+ + \phi_n^-$ $n$

Таким чином, для будь-якої парної потужності ми отримаємо міру, яка дає негативні значення, причому більш високі значення мають місце, якщо хвости розподілу стандартизованої випадкової величини є більш товстими. Зауважимо, що це результат стосовно стандартизованої випадкової величини, і тому зміна масштабу (зміна дисперсії) не впливає на цю міру. Швидше, це фактично міра жирності хвостів, після стандартизації для дисперсії розподілу. Будь-яка з цих величин може бути розумно розцінена як міра типу "куртозу", при цьому більш високі потужності дають більшу відносну вагу значенням, далеким від середнього значення. $n \geqslant 3$

Так як це явище має місце для кожної парного степеня , природний вибором для архетипових заходів ексцесу є визначенням як ексцес. Це нижчий стандартизований центральний момент, ніж вищі рівні сили, і природно досліджувати моменти нижчого порядку перед тим, як розглядати моменти вищого порядку. У статистиці ми прийняли конвенцію щодо позначення цього стандартизованого центрального моменту як "куртозу", оскільки саме цей аспект розподілу визначається найнижчим стандартизованим центральним моментом. (Вищі рівні сили також вимірюють типи куртозу, але з більшим і більшим акцентом на значення, далекі від середнього.) $n \geqslant 3$ $\phi_4$

$^\dagger$ Це рівняння добре визначене для будь-якого розподілу, два перших моменти якого існують і має ненульову дисперсію. Будемо вважати, що розподіл відсотків падає в цьому класі для решти аналізу.

— Бен - Відновлення Моніки
джерело

Подібне запитання Що таке "момент" про "моменти" розподілу ймовірностей? Я дав фізичну відповідь на те, що стосувалося моментів.

"Кутове прискорення - похідна кутової швидкості, яка є похідною кута відносно часу, тобто . Вважайте, що другий момент є аналогічним моменту, застосованому до кругового руху, або якщо ви будете робити прискорення / уповільнення (також друга похідна) цього кругового (тобто кутового, ) руху. Аналогічно, третій момент буде бути швидкістю зміни крутного моменту і т. д. і так далі для ще більш високих моментів, щоб зробити швидкість зміни швидкостей зміни швидкостей зміни, тобто послідовних похідних кругового руху .... " $\dfrac{d\omega}{dt}=\alpha,\,\dfrac{d\theta}{dt}=\omega$ $\theta$

Дивіться посилання, оскільки це, можливо, простіше уявити це фізичними прикладами.

Косоокість легше зрозуміти, ніж куртоз. Від'ємний косий кут - важчий лівий хвіст (або подальше негативне напрямок), ніж у правого, а позитивний - у протилежне.

У Вікіпедії цитується Westfall (2014) і випливає, що високий куртоз виникає або для випадкових змінних, які мають далеко відшаровуються, або для функцій щільності з одним або двома важкими хвостами, стверджуючи, що будь-яка центральна тенденція даних або щільність має відносно незначний вплив на значення куртозу. Низькі значення куртозу означали б навпаки, тобто відсутність вихрових осей та відносну легкість обох хвостів. $x$

— Карл
джерело

Z^{3}

$Z^3$

Z^{4}

$Z^4$

Z^{3}

$Z^3$

Z^{4}

$Z^4$

@PeterWestfall Я погоджуюся, що тлумачення маврів є недосконалим. Точної мови не легко досягти, не збиваючи з толку. Візьмемо, наприклад, "важелі". Важіль означає перший момент, і потрібно було б винайти щось на кшталт "важеля" на другий момент, що може заплутати більше, ніж освітлювати. Здається, що ваш підхід вигадує нову концепцію, тобто "розтягнутий важіль", який натякає на геометричні перетворення, на які можна також претендувати на прихильників, які віддають перевагу як самовідповідні, ризикуючи бути суперечливими та нефізичними для інших. .

— Карл

U

$U$

U = Z^{4}

$U = Z^4$

Z^{4}

$Z^4$

Z

$Z$

Z^{2}

$Z^2$