Чи незалежні оцінки перехоплення та нахилу в простому лінійному регресії?

Розглянемо лінійну модель

$y_i= \alpha + \beta x_i + \epsilon_i$

і оцінки для нахилу та перехоплення та використовуючи звичайні найменші квадрати. Це посилання на математичну статистику робить твердження про те, що і є незалежними (на підтвердження своєї теореми). $\hat{\alpha}$ $\hat{\beta}$ $\hat{\alpha}$ $\hat{\beta}$

Я не впевнений, що розумію, чому. З тих пір

$\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta} \bar{x}$

Чи це не означає та співвідносні? Напевно, тут я пропускаю щось дійсно очевидне. $\hat{\alpha}$ $\hat{\beta}$

regression

— WetlabStudent
джерело

Перейдіть на той самий сайт на наступній під-сторінці:

https://onlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/278

Більш чітко ви побачите, що вони задають просту модель лінійної регресії з регресором, зосередженим на її середній вибірці . І це пояснює, чому згодом вони кажуть, що та є незалежними. $\hat \alpha$ $\hat \beta$

Для випадку, коли коефіцієнти оцінюються за допомогою регресора, який не по центру, їх коваріація є

Cov (\hat{α}, \hat{β}) = - σ^{2} (\bar{x} / S_{x x}), S_{x x} = \sum (x_{i}^{2} - {\bar{x}}^{2})

$\text{Cov}(\hat \alpha,\hat \beta) = -\sigma^2(\bar x/S_{xx}), \;\;S_{xx} = \sum (x_i^2-\bar x^2)$

Отже, ви бачите, що якщо ми будемо використовувати регресор, орієнтований на , називаємо його , вищенаведений вираз коваріації використовуватиме середнє значення вибірки централізованого регресора , яке буде нульовим, і так це теж буде нульовим, а оцінки коефіцієнтів будуть незалежними. $\bar x$ $\tilde x$ $\tilde {\bar x}$

Цей пост містить докладніше про просту алгебру лінійної регресії OLS.

— Алекос Пападопулос
джерело

Я б розглядав можливість використання замість . В іншому випадку вважається, що та потрібно замінити аналогами населення. Або я помиляюся?

C o v (\hat{α}, \hat{β} | X)

$Cov(\hat \alpha, \hat \beta | X)$

C o v (\hat{α}, \hat{β})

$Cov(\hat \alpha, \hat \beta)$

\bar{x}

$\bar x$

S_{x x}

$S_{xx}$

— Річард Харді