Що PCA робить з автокорельованими даними?

Тільки тому, що якийсь кореспондент поставив цікаве питання щодо методів обчислення автокореляції, я почав з ним грати, майже не маючи ніяких знань про часові ряди та автокореляцію.

Кореспондент розмістив свої дані ( точки даних часового ряду), зміщені на один часовий проміжок, крім того, щоб у нього була матриця даних (наскільки я його зрозумів), де перший рядок є вихідними даними, другий рядок дані зміщуються на одиницю часу, наступний рядок - на інший тощо. Я зрозумів це додатково, приклеївши кінець до хвоста, тому зробив «кругові» набори даних.$32$$32\times32$$1$

Тоді, просто шукаючи, що може вийти з цього, я обчислив кореляційну матрицю і з цього основні компоненти. Дивно, але я отримав зображення розкладання частоти, і (знову ж таки, з іншими даними) однієї частоти, сказати, що з одним періодом у дані були в першому головному компоненті, і що з чотирма періодами був у другому ПК і так далі (У мене було "відповідних" ПК із власним значенням$32$$6$$>1$). Спочатку я думав, що це залежить від вхідних даних, але тепер я припускаю, що це систематично таким чином, завдяки спеціальній конструкції набору даних з його круговими зрушеннями (також відомою як матриця "Toeplitz"). Обертання PC-рішення варімакса або інших критеріїв обертання дало дещо інші результати, і, можливо, цікаві, але результати, як правило, забезпечують таке частотне розкладання.

Ось посилання на фотографії, які я зробив із кратного набору даних; криві просто виготовляються з навантажень факторної матриці: одна крива навантажень на один коефіцієнт. Крива першого PC1 повинна показувати найбільшу амплітуду (приблизно тому, що вона несе найбільшу суму завантажувальних квадратів)$32$

Запитання:

• Q1: Це особливість дизайну? (PCA з таким типом набору даних)
• Q2: Чи справді такий підхід корисний для серйозного підходу до аналізу частоти / довжини хвилі?

[оновлення] ось набір даних (сподіваємось, що він може скопіюватися для вас)

-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4
-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5
-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3
0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1
2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0
4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2
6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4
5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6
3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5
1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3
1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1
0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1
-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0
-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2
-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3
0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1
3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0
5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3
7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5
6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7
7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6
5,4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7
4,3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5
3,2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4
2,3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3
3,5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2
5,4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3
4,3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5
3,2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4
2,3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3
3,4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2
4,-5,-3,-1,0,2,4,6,5,3,1,1,0,-2,-3,-1,0,3,5,7,6,7,5,4,3,2,3,5,4,3,2,3

Дозвольте мені перетворити свій попередній коментар у відповідь.

Чи уявляєте ви, що рядки в вашій матриці даних є змінними або зразками? Я припускаю, що це зразки: тобто у вас різних часових ряду (зразки).$n=32$

Тоді, якщо всі рядки однакові, але лише кругові зміщені на позицію в кожному, то матриця грам у ваших даних, що складається з крапок добутку між усіма парами рядків, матиме структуру Toeplitz: високі значення близькі до діагонально і поступово зменшуючись до нульових значень від нього. Матриці Toeplitz мають послідовні режими Фур'є, оскільки їх власні вектори (і власні вектори матриці Грама є основними компонентами, аж до масштабування), так що так для вашого Q1: не дивно, що ви отримуєте синусоїдальні хвилі зростаючої частоти як ПК.$n=32$$1$$n\times n$

Не маю уявлення, чи може це бути корисно (Q2). На мій досвід, це, як правило, представляється дратівливим артефактом. Тобто люди мають деякі дані, отримують щось із зовнішнього вигляду Фур'є з PCA і починають цікавитись, що вони можуть означати, тоді як вони просто пов'язані з деякими часовими зрушеннями в початковому часовому ряду.