Максимальний оцінювач вірогідності для мінімуму експоненціальних розподілів

Я застряг у тому, як вирішити цю проблему.

Отже, у нас є дві послідовності випадкових змінних, та для . Тепер і це незалежні експоненціальні розподіли з параметрами і . Однак замість того, щоб спостерігати і , ми замість та спостерігаємо . $X_i$ $Y_i$ $i=1,...,n$ $X$ $Y$ $\lambda$ $\mu$ $X$ $Y$ $Z$ $W$

$Z=\min(X_i,Y_i)$ і $W=1$ якщо $Z_i=X_i$ і 0, якщо $Z_i=Y_i$ . Я повинен знайти закриті форми для максимального правдоподібності оцінок $\lambda$ і $\mu$ на основі $Z$ і $W$ . Далі нам потрібно показати, що це глобальні максимуми.

Тепер я знаю, що мінімум двох незалежних експоненцій сам по собі є експоненціальним, швидкість дорівнює сумі ставок, тому ми знаємо, що $Z$ експоненціальна з параметром $\lambda+\mu$ . Таким чином, наш максимальний показник вірогідності: $\hat{\lambda}+\hat{\mu}=\bar{Z}$ .

Але я застряг, куди податися звідси. Я знаю, що $W$ - розподіл Бернуллі з параметром $p=P(Z_i=X_i)$ , але я не знаю, як перейти до перетворення цього висловлювання про один з параметрів. Наприклад, що б MLE $\bar{W}$ оцінювало в термінах $\lambda$ та / або $\mu$ ? Я розумію, що якщо $Z_i=X_i$ , то $\mu=0$ , але мені важко зрозуміти, як придумати будь-яке алгебраїчне твердження, тут.

UPDATE 1: Так що я сказав в коментарі , щоб отримати можливість для спільного розподілу $Z$ і $W$ .

Тож де . Правильно? Я не знаю, як інакше отримати спільний розподіл у цьому випадку, оскільки і не є незалежними. $f(Z,W)=f(Z|W=1)\cdot p+f(Z|W=0)\cdot (1-p)$ $p=P(Z_i=X_i)$ $Z$ $W$

Отже, це дає нам за визначенням вище. Але тепер що? Це мене нікуди не дістає. Якщо я пройду етапи обчислення ймовірності, я отримаю: (використовуючи і як розміри вибірки для кожної частини суміші ...) $f(Z_i,W_i)=p\lambda e^{-\lambda z_i}+(1-p)\mu e^{-\mu z_i}$ $W$ $m$ $n$

$L(\lambda,\mu)=p^m\lambda^m e^{-\lambda \sum{z_i}}+(1-p)^n\mu^n e^{-\mu \sum{z_i}}$

$\log L=m\log p+m\log\lambda-\lambda \sum{z_i}+n\log(1-p)+n\log\mu-\mu \sum{z_i}$

Якщо взяти приватні похідні, це говорить мені , що оцінює мій MLE для і тільки середнє значення «s умовному на . Це є, $\lambda$ $\mu$ $Z$ $W$

$\hat{\lambda}=\frac{\sum{Z_i}}{m}$

$\hat{\mu}=\frac{\sum{Z_i}}{n}$

$\hat{p}=\frac{m}{n+m}$

— Райан Сіммонс
джерело

Щойно відповівши на подібне запитання про MLE сьогодні, чи можу я направити вас на вирішення деяких ідей? Залежність між питаннями полягає в тому, що ваші дані також розбиваються природним чином на дві непересічні групи: ті, де і ті, де . Все зводиться до того, щоб записати ймовірність спостереження за формою ; симетрія між і , та , негайно створює ймовірність даних форми а потім ви вимкнетесь і працюєте.

W = 0

$W=0$

W = 1

$W=1$

(Z, W) = (z, 0)

$(Z,W)=(z,0)$

X

$X$

Y

$Y$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

(z, 1)

$(z,1)$

— whuber

Не поспішайте писати максимальну ймовірність! Спочатку висловіть спільний розподіл , потім ймовірність, пов’язану з вибіркою , яка має бути закритою формою завдяки експоненціальному припущенню. Тоді і тільки тоді ви можете спробувати максимізувати функцію і, отже, отримати максимальну ймовірність.

(Z, W)

$(Z,W)$

(Z_{i}, W) =_{i})

$(Z_i,W)=_i)$

— Сіань

@whuber: (+1) це досить просто на самому справі і передбачає поділ між «s і , але обидві групи пов'язані як і , так як вони приносять інформацію про як і , оскільки .

(z_{i}, 1)

$(z_i,1)$

(z_{i}, 0)

$(z_i,0)$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

W_{i} = I (X_{i} < Y_{i})

$W_i=\mathbb{I}(X_i<Y_i)$

— Сіань

@ Xi'an Правильно - і паралелі з прикладом Normal-теорії я посилаюсь, щоб продовжувати, оскільки там обидві групи надають інформацію про загальний параметр (шкала), оцінка якого, таким чином, буде включати "об'єднання" даних з груп. Тут буде видно, що повідомляє нам, як оцінку (швидкість, або зворотну шкалу, для ) слід розподілити на окремі оцінки та .

σ

$\sigma$

\bar{W}

$\bar W$

λ + μ

$\lambda+\mu$

Z

$Z$

λ

$\lambda$

μ

$\mu$

— whuber

Я прочитав інший потік, whuber, але я, чесно кажучи, не розумію, як це застосувати до цього прикладу. Z і W не є незалежними, тож як я можу отримати спільний розподіл?

— Райан Сіммонс

У мене недостатньо балів для коментарів, тому я напишу тут. Я думаю, що проблему, яку ви опублікуєте, можна розглядати з точки зору аналізу виживання, якщо врахувати наступне:

$X_i$ : Справжній час виживання,

$Y_i$ : час цензури,

Обидва мають експоненціальний розподіл незалежно від іТоді - спостережуваний час виживання, а показник цензури. $X$ $Y$ $Z_i$ $W_i$

Якщо ви знайомі з аналізом виживання, я вважаю, що ви можете почати з цього моменту.

Примітки: Гарне джерело: аналіз даних про виживання DRCox та D.Oakes

Нижче наведено приклад: припустимо, що pdf розподілу часу виживання є . Тоді функцією виживання є: . І ймовірність журналу така: $f(t)=\rho e^{-\rho t}$ $S(t)=e^{-\rho t}$

$\mathcal{l}= \sum_u \log f(z_i) + \sum_c \log S(z_i)$

з підсумовуванням без цензури ( ) та цензури ( ) відповідно. $u$ $c$

Через те, що де h (t) - функція небезпеки, це можна записати: $f(t)=h(t)S(t)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log h(z_i) + \sum \log S(z_i)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log \rho - \rho \sum z_i$

І максимальний оцінка ймовірності з становить: $\hat{\rho}$ $\rho$

$\hat{\rho}=d/\sum z_i$ де - загальна кількість випадків $d$ $W_i=1$

— джудже
джерело