Чи означає, що середня = медіана означає, що унімодальний розподіл симетричний?

Для унімодального розподілу, якщо середнє = медіана, то чи достатньо сказати, що розподіл симетричний?

Вікіпедія говорить про співвідношення між середнім та середнім:

"Якщо розподіл симетричний, то середнє значення дорівнює медіані, і розподіл матиме нульовий нахил. Якщо, крім того, розподіл є немодальним, то середнє = медіана = режим. Це стосується кидання монети або ряд 1,2,3,4, ... Однак зауважимо, що зворотне значення взагалі не відповідає дійсності, тобто нульова косоокість не означає, що середнє значення дорівнює медіані ".

Однак не дуже прямо вперед (для мене) збирати потрібну мені інформацію. Будь-яка допомога, будь ласка.

Ось невеликий контрприклад, який не симетричний: -3, -2, 0, 0, 1, 4 є немодальним з mode = median = mean = 0.

Редагувати: Ще менший приклад - -2, -1, 0, 0, 3.

Якщо ви хочете уявити випадкову величину, а не вибірку, візьміть підтримку як {-2, -1, 0, 3} з функцією масової ймовірності 0,2 на всіх, за винятком 0, де вона дорівнює 0,4.

Це почалося як коментар, але виросло занадто довго; Я вирішив зробити це на більшу відповідь.

Тонка відповідь Алексіса стосується негайного запитання (коротше: я. Що логічно не означає ; ii. Зворотне твердження насправді помилкове), і Silverfish дає протилежні приклади.${A\implies B}$$B\implies A$

Я хотів би розібратися з деякими додатковими питаннями і вказати на декілька обширних відповідей, які вже є певною мірою.

1. Заява на сторінці Вікіпедії, яку ви цитуєте, теж не є точно правдою. Розглянемо, наприклад, розподіл Коші, який, безумовно, симетричний щодо медіани, але який не має середнього значення. Виписка потребує кваліфіката, наприклад "за умови існування середнього значення та косості". Навіть якщо ми зведемо його до слабшого твердження в першій половині першого речення, воно все одно потребує "за умови, що середнє існує".

2. Ваше запитання частково пов'язує симетрію з нульовим нахилом (я припускаю, що ви маєте намір косості третього моменту, але подібна дискусія може бути написана і для інших заходів, спрямованих на скачування). Наявність 0 косості не означає симетрію. Пізніша частина вашої цитати та розділ з Вікіпедії, цитований Олексієм, згадують про це, хоча пояснення, подані у другій цитаті, можуть використовувати певні зміни.

Ця відповідь показує, що зв’язок між косою третього моменту та напрямом зв’язку між середнім та медіаною слабкий (косості третього моменту та косості другого Пірсона не повинні відповідати).

Пункт 1. у цій відповіді дає дискретний контрприклад, подібний, але відмінний від того, який дав Серебрянка.

Редагувати: я нарешті розкопав унімодальний приклад, який я насправді шукав раніше.

У цій відповіді я згадую таку родину:

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) [1 -\alpha \sin(x^{1/4})]$

Беручи два конкретні члени (скажімо, синя та зелена густини у конкретному прикладі у зв’язаній відповіді, що мають та відповідно), і переверніть один про x- осі і взявши суміш 50-50 з двох, ми отримали б одномодульну асиметричну щільність з усіма непарними моментами нульовими:$\alpha=0$$\alpha=\frac{_1}{^2}$

(сірі лінії показують, що синя щільність перевернута навколо осі x, щоб зробити асиметрію простою)

Whuber наводить тут ще один приклад з нульовим нахилом, який є безперервним, одномодальним та асиметричним. Я відтворив його діаграму:

який показує приклад, і те ж саме перегорнуто про середнє значення (щоб чітко показати асиметрію), але вам слід прочитати оригінал, який містить багато корисної інформації.

[Відповідь Вюбера тут дає ще одне асиметричне безперервне сімейство розподілів з усіма тими ж моментами. Виконуючи той же самий "виберіть два, переверніть один і візьміть суміш 50-50", такий самий результат є асиметричним з усіма нульовими моментами, але я думаю, що це не дає одномодальних результатів (хоча, можливо, є кілька прикладів). ]

Відповідь тут обговорюється зв'язок між середнім, медіанного і режимом.

У цій відповіді обговорюються гіпотезні тести симетрії.

Ні.

Якщо, крім того, розподіл унімодальний, то середнє = медіана = режим.

Точно так само, як "Якщо дитяча тварина - курка, то її походження - яйце", це не означає, що "Якщо походження - яйце, то дитяча тварина - курка".

З тієї ж статті Вікіпедії:

У випадках, коли один хвіст довгий, а інший хвіст жирний, косоокість не підпорядковується простому правилу. Наприклад, нульове значення вказує на те, що хвости з обох сторін середнього балансують, що стосується як симетричного розподілу, так і для асиметричного розподілу, коли асиметрії вирівнюються, наприклад, один хвіст довгий, але тонкий, і інші короткі, але жирні.

Цікаві та легкі для розуміння приклади походять з біноміального розподілу.

$\times$$=$

            1        2
    +-------------------+
  1 |       0   .32768  |
  2 |       1    .4096  |
  3 |       2    .2048  |
  4 |       3    .0512  |
  5 |       4    .0064  |
  6 |       5   .00032  |
    +-------------------+

Статичний код цього дисплея був mata : (0..5)' , binomialp(5, (0..5), 0.2)'і, мабуть, він такий же простий чи простіший у будь-якому статистичному програмному забезпеченні, яке варто згадати.

Що стосується психології, а не логіки, цей приклад не можна переконливо вважати патологічним (як і в інших проблемах, можна знизити дистрибуції, для яких певні моменти навіть не існують) або як химерний чи тривіальний приклад, придуманий з цією метою (як наприклад, винахідні дані, описані @Silverfish або 0, 0, 1, 1, 1, 3).