Що пояснює доданий змінний графік (Частичний графік регресії) за допомогою множинної регресії?

У мене є модель набору даних Movies, і я використовував регресію:

model <- lm(imdbVotes ~ imdbRating + tomatoRating + tomatoUserReviews+ I(genre1 ** 3.0) +I(genre2 ** 2.0)+I(genre3 ** 1.0), data = movies)
library(ggplot2)
res <- qplot(fitted(model), resid(model))
res+geom_hline(yintercept=0)

Що дало вихід:

Тепер я спробував працювати щось, що називається Додана змінна ділянка вперше, і я отримав такий результат:

car::avPlots(model, id.n=2, id.cex=0.7)

Проблема полягає в тому, що я намагався зрозуміти доданий сюжет змінної за допомогою google, але я не міг зрозуміти його глибину, побачивши сюжет, я зрозумів, що своєрідне подання перекосу засноване на кожній вхідній змінній, що стосується виводу.

Чи можу я отримати більш детальну інформацію про те, як це виправдовує нормалізацію даних?

Для ілюстрації я візьму менш складну регресійну модель $Y = \beta_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + \epsilon$ де мінливі прогнози $X_2$ і $X_3$ можуть бути корельованими. Скажімо, нахили $\beta_2$ і $\beta_3$ є позитивними, тому можна сказати, що (i) $Y$ збільшується зі збільшенням $X_2$ , якщо $X_3$ підтримується постійним, оскільки $\beta_2$ є позитивним; (ii) $Y$збільшується в міру збільшення $X_3$ , якщо $X_2$ підтримується постійним, оскільки $\beta_3$ позитивний.

Зауважте, що важливо інтерпретувати множинні коефіцієнти регресії, враховуючи, що відбувається, коли інші змінні підтримуються постійними ("ceteris paribus"). Припустимо, я просто регресував $Y$ проти $X_2$ з моделлю $Y = \beta_1' + \beta_2' X_2 + \epsilon'$ . Моя оцінка коефіцієнта нахилу $\beta_2'$ , який вимірює вплив на $Y$ збільшення одиничної величини постійної $X_2$ , може відрізнятися від моєї оцінки β 2 без утримання $X_3$$\beta_2$ множинної регресії - що також вимірює вплив на$Y$ збільшення на одну одиницю в$X_2$ , але церобитьутримання$X_3$ константу. Проблема моєї оцінки$\hat{\beta_2'}$ полягає в тому, що вона страждає відзміщення пропущеної змінної,якщо$X_2$ кореляція і $X_3$ .

Щоб зрозуміти, чому, уявіть, що $X_2$ і $X_3$ негативно співвідносяться. Тепер, коли я збільшую $X_2$ на одну одиницю, я знаю, що середнє значення $Y$ повинно зростати, оскільки $\beta_2 > 0$ . Але , як $X_2$ збільшується, якщо ми не будемо тримати $X_3$ константу , то $X_3$ має тенденцію до зниження, а з $\beta_3 > 0$ це буде мати тенденцію до скорочення середнього значення $Y$ . Тож загальний ефект від збільшення одиниці на $X_2$ виявиться меншим, якщо я дозволю $X_3$ щоб змінюватись також, отже,$\beta_2' < \beta_2$ . Все погіршується, чим сильніше співвідносяться $X_2$ і $X_3$ , і чим більший ефект від $X_3$ через $\beta_3$ - в дійсно важкому випадку ми можемо навіть знайти $\beta_2' < 0$ хоча ми знаємо це, ceteris paribus, $X_2$ позитивно впливає на $Y$ !

Сподіваємось, ви тепер можете зрозуміти, чому малювання графіка $Y$ проти $X_2$ було б поганим способом візуалізації взаємозв'язку між $Y$ та $X_2$ у вашій моделі. У моєму прикладі ваш погляд буде притягнутий до лінії, що найкраще підходить із нахилом $\hat{\beta_2'}$ , який не відображає $\hat{\beta_2}$ з вашої регресійної моделі. У гіршому випадку ваша модель може передбачити, що $Y$ збільшується зі збільшенням $X_2$ (при інших змінних, що зберігаються постійними), але точки на графіку дозволяють припустити, що $Y$ зменшується зі збільшенням $X_2$ .

Проблема полягає в тому, що в простому графіку $Y$ проти $X_2$ інші змінні не вважаються постійними. Це найважливіше розуміння переваги доданої змінної ділянки (її також називають частковою регресійною графікою) - вона використовує теорему Фріша-Вон-Ловелла для "часткового усунення" ефекту інших прогнокторів. Горизонтальні та вертикальні осі на графіку, мабуть, найлегше зрозуміти * як " $X_2$ після обліку інших прогнозів" та " $Y$ після обліку інших прогнозів". Тепер ви можете подивитися на взаємозв'язок між $Y$ та $X_2$ після того, як були враховані всі інші прогнози. Так, наприклад, нахил, який ви можете побачити в кожному сюжеті, тепер відображає часткові коефіцієнти регресії з вашої оригінальної моделі множинної регресії.

Багато значення доданої ділянки змінної ділянки надходить на етапі діагностики регресії, тим більше, що залишки в доданому змінному графіку є саме залишками від вихідної множинної регресії. Це означає, що переживаючі та гетероскедастичні властивості можна визначити аналогічно, як при розгляді сюжету простої, а не множинної регресійної моделі. Також можна помітити впливові моменти - це корисно при багаторазовій регресії, оскільки деякі впливові моменти не є очевидними в початкових даних, перш ніж брати до уваги інші змінні. У моєму прикладі помірно велике значення $X_2$ може не виглядати поза місцем у таблиці даних, але якщо значення $X_3$ також велике, незважаючи на $X_2$ і X3$X_3$ негативно співвідносяться, тоді комбінація зустрічається рідко. "Облік інших прогнокторів", значення $X_2$ незвичайно велике і буде помітніше на вашій доданій змінній графіку.

$*$ Більш технічно вони будуть залишками від запуску двох інших множинних регресій: залишки від регресування$Y$ проти всіх предикторів, крім$X_2$ йдуть по вертикальній осі, тоді як залишки від регресії$X_2$ проти всіх інших предикторів йдуть по горизонтальній осі. Це дійсно те, щорозповідаютьлегенди про "$Y$ дали іншим" та "$X_2$ дано іншим". Оскільки середнє залишкове значення для обох цих регресій дорівнює нулю, середня точка ($X_2$ задано іншими,$Y$$X_2$$Y$

is there anything that can really be said about the trends seen in the plots

Sure, their slopes are the regression coefficients from the original model (partial regression coefficients, all other predictors held constant)