Розподіл вірогідності для галасливої ​​синусоїди

Я шукаю аналітично обчислити розподіл ймовірності точок відбору з коливальної функції, коли є якась помилка вимірювання. Я вже підрахував розподіл ймовірності для частини "без шуму" (я поставлю це в кінці), але не можу зрозуміти, як включити "шум".

Числова оцінка

Щоб було зрозуміліше, уявіть, що існує деяка функція якої ви випадково вибираєте очки протягом одного циклу; якщо ви розділите точки в гістограмі, ви отримаєте щось, що стосується розподілу.$y(x) = \sin(x)$

Без шуму

Наприклад, ось та відповідна гістограма$sin(x)$

З шумом

Тепер, якщо є якась похибка вимірювання, то вона змінить форму гістограми (і, отже, я думаю, що основний розподіл). Наприклад

Аналітичний розрахунок

Тож сподіваюсь, я переконав вас, що між ними є якась різниця, зараз я випишу, як я підрахував випадок "без шуму":

Без шуму

$$y(x) = \sin(x)$$

$y$

$$P(y) dy = \frac{dx}{2\pi}$$

то з тих пір

$$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\left(\arcsin(y)\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$$

і так

$$P(y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 - y^{2}}}$$

що при відповідній нормалізації відповідає гістограмі, генерованій у випадку "без шуму".

З шумом

$y(x)$

Це залежить від того, як структурований процес шуму.

$Y$

$X_i$$x$$Y_i|X_i=x_i$$\sin(x_i)$$Y$$g$

$\epsilon_i\sim N(0,\sigma^2)$$f(\epsilon)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp({\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2}})$$f*g$

$f_{Y+\epsilon}(z) = (f*g)(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(y)f_{\epsilon}(z-y)dy=\int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(z-w)f_{\epsilon}(w)dw$

(це згортання було зроблено чисельно; я не знаю, наскільки цей інтеграл є простежуваним у цьому прикладі, тому що я не робив цього.)

Я думаю, що похідне вираження для P (x) відключається в два рази. Час рівномірно розподіленого зразка еквівалентний рівномірному розподілу фази через інтервал -pi, pi. Тригонометрична функція розподіляє ймовірність через інтервал y {-1,1}. Інтеграція P (y) через цей інтервал повинна бути = 1, а не 2, як отримано за допомогою інтеграду, наведеного вище. Я думаю, що P (y) = 1 / (pi Sqrt (1-y ^ 2))