Чому куртоз нормального розподілу дорівнює 3, а не 0

Що мається на увазі під твердженням, що куртоз нормального розподілу дорівнює 3. Чи означає це, що на горизонтальній лінії значення 3 відповідає піковій ймовірності, тобто 3 - режим системи?

Коли я дивлюся на звичайну криву, то здається, що пік настає в центрі, він же дорівнює 0. Так чому куртоз не 0, а замість цього 3?

normal-distribution moments kurtosis

— Віктор
джерело

Як пише @Glen_b, коефіцієнт "куртозу" визначається як четвертий стандартизований момент: ім'я Так трапляється, що для нормального розподілу тому . Надлишок ексцесу звичайно позначається є . Потрібно бути обережними, оскільки іноді автори пишуть "куртоз", а вони означають "надлишковий куртоз".

β_{2} = \frac{Е [(Х - мк)^{4}]}{(Е [(Х - мк)^{2}])^{2}} = \frac{{мк}_{4}}{σ^{4}}

${\beta_2=}\frac{\operatorname{E}[(X-{\mu})^4]}{(\operatorname{E}[(X-{\mu})^2])^2} {=} \frac{\mu_4}{\sigma^4}$

μ_{4} = 3 σ^{4}

$\mu_4 = 3\sigma^4$

β_{2} = 3

$\beta_2= 3$

γ_{2}

$\gamma_2$

γ_{2} = β_{2} (Normal) - 3

$\gamma_2 = \beta_2(\text{Normal}) -3$

— Алекос Пападопулос

Re: Мій попередній коментар. Правильний вираз для коефіцієнта надлишкового -

γ_{2} = β_{2} - β_{2} (Нормальний) = β_{2} - 3

$\gamma_2 = \beta_2 - \beta_2(\text{Normal}) = \beta_2 - 3$

— Алекос Пападопулос

Куртоз, звичайно, не є місцем розташування піку. Як ви кажете, це вже називається режим.

Куртоз - це стандартизований четвертий момент: якщо , є стандартизованою версією змінної, яку ми дивимося, то куртоз населення - це середня четверта потужність цієї стандартизованої змінної; . Куртоз зразка відповідно пов'язаний із середньою четвертою потужністю стандартизованого набору значень вибірки (у деяких випадках він масштабується коефіцієнтом, який у великі вибірки дорівнює 1). $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ $E(Z^4)$

Як ви зазначаєте, цей четвертий стандартизований момент дорівнює 3 у випадку звичайної випадкової величини. Як зазначає Алекос у коментарях, деякі люди визначають куртоз як ; це іноді називають надмірним куртозом (це також четвертий кумулянт). Бачачи слово «куртоз», потрібно пам’ятати про таку можливість, що різні люди використовують одне і те ж слово для позначення двох різних (але тісно пов’язаних між собою) величин. $E(Z^4)-3$

Куртоз зазвичай або описується як пік * (скажімо, як різко вигнута вершина - що, мабуть, був наміром вибору слова "куртоз") або важкохвостий (часто те, що люди зацікавлені, щоб використовувати його для вимірювання), але в фактичний факт, звичайний четвертий стандартизований момент не зовсім відповідає жодній з цих речей.

Дійсно, перший том Кендалла і Стюарта дає протилежні приклади, які показують, що вищий куртоз не обов'язково пов'язаний ні з вищим піком (у стандартизованій змінній), ні з більш жирними хвостами (досить схожим чином, що третій момент не зовсім вимірює те, що багато людей думаю, що це робить).

Однак у багатьох ситуаціях є певна тенденція асоціюватися з обома, оскільки більшу піку і важку хворобливість часто можна помітити, коли куртоз вище - ми просто повинні остерігатися, думаючи, що це обов'язково так.

Куртоз і косоокість сильно пов'язані (куртоз повинен бути принаймні на 1 більше, ніж квадрат косості; інтерпретація куртозу дещо простіша, коли розподіл майже симетричний.

введіть тут опис зображення

Дарлінгтон (1970) і Мурс (1986) показали, що міра куртозу четвертого моменту є фактичною мінливістю щодо "плечей" - , а Balanda і MacGillivray (1988) пропонують думати про це у невизначених термінах, пов'язаних з цей сенс (і розглянути деякі інші способи його вимірювання). Якщо розподіл тісно зосереджено на , то куртоз (обов'язково) малий, тоді як якщо розподіл буде розкинуто подалі від (що, як правило, одночасно збирає його в центрі та переміщення ймовірності в хвости, щоб відсунути його від плечей), куртоз четвертого моменту буде великим. $\mu\pm\sigma$ $\mu\pm\sigma$ $\mu\pm\sigma$

Де Карло (1997) є розумним початковим місцем (після таких основних ресурсів, як Вікіпедія) для читання про куртоз.

Редагувати: Я бачу деякі випадкові запитання про те, чи може більш високий пік (значення біля 0) взагалі впливати на куртоз. Відповідь - так, безумовно, це може. Це так, це наслідок того, що це четвертий момент стандартизованої змінної - для збільшення четвертого моменту стандартизованої змінної необхідно збільшити , утримуючи постійну . Це означає, що рух вірогідності далі в хвіст повинен супроводжуватися деяким далі (всередині ); і навпаки - якщо ви додасте більше ваги в центрі, утримуючи дисперсію в 1, ви також покладете трохи в хвіст. $E(Z^4)$ $E(Z^2)$ $(-1,1)$

[NB, як обговорювалося в коментарях, це неправильно як загальне твердження; тут потрібно дещо інше твердження.]

Цей ефект дисперсії, який підтримується постійним, безпосередньо пов'язаний з обговоренням куртозу як "варіації щодо плечей" у працях Дарлінгтона та Мавра. Цей результат - це не якесь ручне хвилеподібне поняття, а звичайна математична еквівалентність - не можна вважати, що це інакше без неправильного представлення куртозу.

Тепер можна збільшити ймовірність всередині не піднімаючи піку. Так само можливо збільшити ймовірність назовні не обов'язково зробивши віддалений хвіст важчим (скажімо, за типовим індексом хвоста). Тобто, цілком можливо підняти куртоз, зробивши хвостик світлішим (наприклад, легший хвіст за межі 2sds з будь-якої сторони від середини, скажімо). $(-1,1)$ $(-1,1)$

[Моє включення Кендалла та Стюарта до посилань пов’язане з тим, що їх обговорення куртозу також має відношення до цього питання.]

То що ми можемо сказати? Куртоз часто асоціюється з більш високим піком і з більш важким хвостом, без того, щоб виникати і в'януть. Безумовно, легше зняти куртоз, граючи з хвостом (оскільки можна відійти більше 1 сд), потім регулюючи центр, щоб зміна залишалася постійною, але це не означає, що пік не впливає; це, безумовно, робить, і куртозом можна маніпулювати, зосереджуючись на ньому. Куртоз значною мірою, але пов'язаний не лише з важкістю хвоста - знову ж таки, зверніть увагу на різницю щодо результату плечей; якщо що-небудь на це дивиться куртоз, у неминучому математичному сенсі.

Список літератури

Balanda, KP і MacGillivray, HL (1988),
"Куртоз: критичний огляд".
Американський статистик 42 , 111-119.

Дарлінгтон, Річард Б. (1970),
"Чи справді куртоз" Вершина? "."
Американський статистик 24 , 19-22.

Moors, JJA (1986),
"Значення куртозу: Дарлінгтон переглянуто".
Американський статистик 40 , 283-284.

DeCarlo, LT (1997),
"Про значення та використання куртозу".
Психол. Методи, 2 , 292-307.

Кендалл, М. Г. та А. Стюарт,
передова теорія статистики ,
Vol. 1, 3-е вид.
(новітні видання "Стюарт і Орд")

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

Веселий факт: якщо припустити, що надлишковий куртоз "стандартного" нормального розподілу дорівнює "стандартний" розподіл Лапласа має колишній вигляд. куртоз . (Очевидний +1 за чудову відповідь.)

0

$0$

3

$3$

— usεr11852 повідомляє Відновити Моніку

Стаття Westfall про куртоз під назвою Kurtosis як максимум, 1905-2014 RIP варто розглянути. Він критикує DeCarlo (серед інших, навіть перерахований вище) за поширення знань про куртоз як міру піку Посилання тут: ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4321753

— Lil'Lobster

@Lil Я думаю, що Westfall завищує його справу. Оскільки (майже) цілком зосереджений на важких хвостах, він суворо неправильний. Хоча куртоз асоціюється досить сильно з важкими хвостами, куртоз, очевидно, не є важким хвостом (зустрічаються приклади, де важчі хвости переходять із нижчим куртозом, легко знайти, як це описано в деяких посиланнях вище; їх також легко зробити). Куртоз асоціюється менш сильно з піком, але все ще існує асоціація; наполягаючи, що це не пік, він надто далеко йде у своїй критиці (аналогічні критики стосуються його власних висновків). ...

— ctd

Glen_b, ти і я любимо математику. Якщо ви збираєтесь критикувати мене за "завищення моєї справи", будь ласка, надайте мені свій математичний аргумент, який пов'язує куртоз Пірсона з "піком".

— Пітер Вестфалл

Gelen_b, ваш коментар "Це означає, що ймовірність руху далі в хвіст повинна супроводжуватися деякими далі всередині mu + - sigma і навпаки - якщо ви додасте більше ваги в центрі, утримуючи дисперсію в 1, ви також покладете кілька в хвіст "Неправда. Це не повинно. Ви можете зберегти ймовірність (фактично весь розподіл) всередині mu + - sigma постійною і збільшити куртоз до нескінченності в межах певних параметричних сімей розподілів. Дивіться тут: math.stackexchange.com/questions/167656/…

— Пітер

Ось пряма візуалізація, щоб зрозуміти, на що позначається число "3" щодо куртозу нормального розподілу.

$X$ $Z = (X-\mu)/\sigma$ $V = Z^4$ $V$ $p_V(v)$

$X$ $p_V(v)$

$X$ $p_V(v)$ $X$ $p_V(v)$ $X$

$p_V(v)$

З цієї точки зору, по суті правильної інтерпретації куртозу «вага хвоста» можна більш конкретно охарактеризувати як «хвостовий важіль», щоб не плутати «збільшену масу хвоста» з «збільшеною масою в хвості». Зрештою, можливо, що вищий куртоз відповідає меншій масі в хвості, але там, де ця зменшена маса займає більш віддалене положення.

"Дайте мені місце стояти, і я переміщу землю". -Архімед

— Пітер Вестфалл
джерело