Регресія з оберненою незалежною змінною

Припустимо, у мене є вектор залежних змінних і вектор незалежної змінної. Коли побудовано проти , я бачу, що між ними існує лінійна залежність (тенденція до зростання). Тепер це також означає, що між і існує лінійна тенденція до зниження . $N$ $Y$ $N$ $X$ $Y$ $\frac{1}{X}$ $Y$ $X$

Тепер, якщо я запускаю регресію: і отримую відповідне значення $Y = \beta * X + \epsilon$ $\hat{Y} = \hat{\beta}X$

Потім я запускаю регресію: і отримую відповідне значення $Y = \alpha * \frac{1}{X} + \epsilon$ $\tilde{Y} = \hat{\alpha} \frac{1}{X}$

Чи будуть два прогнозовані значення і приблизно однакові? $\hat{Y}$ $\tilde{Y}$

regression data-transformation linear-model

— Майо
джерело

Відповіді:

Коли Y побудовано проти , я бачу, що між ними існує лінійна залежність (тенденція до зростання). Тепер це також означає, що між Y і X існує лінійна тенденція до зниження $\frac{1}{X}$

Останнє речення неправильне: є тенденція до зниження, але це аж ніяк не лінійно: Y ~ 1 / X Y ~ X

Я використав як функція плюс трохи шуму на. Як бачите, будуючи графікпроти $f(x) = \frac{1}{x}$ $Y$ $Y$ дає лінійну поведінку,протидалеко не лінійна. $\frac{1}{X}$ $Y$ $X$

(@whuber вказує, що проти $Y$ Сюжет не виглядає гомоскедастичним. Я думаю, що, здається, є більша дисперсія для низькогооскільки набагато більша щільність корпусу призводить до більшого діапазону, що по суті є тим, що ми сприймаємо. Насправді, дані є гомосептичними: я використовувавдля генерування даних, тому ніякої залежності від розміру). $\frac{1}{X}$ $Y$ Y = 1 / X + rnorm (length (X), sd = 0.1) $X$

Тож взагалі відносини дуже нелінійні. Тобто, якщо ваш діапазон є настільки вузьким, що ви можете наблизити $X$ Ось приклад: $\frac{d \frac{1}{x}}{dx} = - \frac{1}{x^2} \approx const.$

Y ~ 1 / X Y ~ X

Нижня лінія:

Взагалі, приблизно важко наблизити функція за допомогою лінійної або поліноміальної функції. І без зміщення терміну ви ніколи не отримаєте розумного наближення. $\frac{1}{X}$
Якщо інтервал досить вузький, щоб дозволити лінійне наближення, ви в будь-якому випадку не зможете з даних здогадатися, що співвідношення має бути $X$ а не лінійний (). $\frac{1}{X}$ $X$

— cbeleites незадоволений SX
джерело

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

1 / X

$1/X$

Y

$Y$

X

$X$

@whuber: Мені дуже шкода, але зараз, здається, досить щільно. Питання говорить: "Коли Y побудовано проти 1 / X, я бачу, що існує лінійна залежність (тенденція до зростання)". Ось що я намагався зобразити на 1-му та 3-му зображенні: Y над 1 / X лінійно збільшується. Потім я побудував відповідний Y над X (нелінійний, зменшується). Де я неправильно розумію ОП?

— cbeleites незадоволений SX

Y

$Y$

1 / X

$1/X$

Дякую за спостереження щодо гомоскедастичності. Перетворюючи незалежну змінну, ви не змінюєте гомоседастичності відповіді - але її поява, безумовно, може змінитися, як ви вказуєте, що корисно знати. (Ми спостерігали це явище в декількох інших постах, де люди неправильно приписують гетероскедастичність, наприклад, просто розбіжностям у групових групах населення)

— whuber

Дуже ретельна відповідь та коментарі! Дякую @cbeleites та @whuber!

— Mayou

Я не бачу причин, щоб вони взагалі були «приблизно рівними» - але що саме ви маєте на увазі під рівним?

Ось іграшковий приклад:

library(ggplot2)
n <- 10^3
df <- data.frame(x=runif(n, min=1, max=2))
df$y <- 5 / df$x + rnorm(n)
p <- (ggplot(df, aes(x=x, y=y)) +
      geom_point() +
      geom_smooth(method="lm", formula=y ~ 0 + x) +  # Blue, OP's y hat
      geom_smooth(method="lm", formula=y ~ 0 + I(x^-1), color="red"))  # Red, OP's y tilde
p

Фото:

Я б сказав, що це далеко не "приблизно рівні"

"Синя" модель зробила б набагато краще, якби дозволено мати перехоплюючий (тобто постійний) термін ...

— Адріан
джерело

Важко сказати, що ти робиш із синьою моделлю, але це, звичайно, не так, як описано в ОП! Червоний набагато ближче до ситуації, поданої у питанні.

— whuber

Y

$Y$

1 / X

$1/X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

1 / X

$1/X$