Стохастичний процес - це процес, який розвивається з часом, тож це насправді більш химерний спосіб сказати "часовий ряд"?

Оскільки багато тривожних розбіжностей виявляються в коментарях та відповідях, давайте звернемося до деяких органів.

Джеймс Гамільтон навіть не визначає часовий ряд, але йому ясно, що таке:

... цей набір чисел є лише одним можливим результатом базового стохастичного процесу, який генерував дані. Дійсно, навіть якби ми собі уявляли, як спостерігали процес протягом нескінченного періоду часу, дійшовши до послідовності { y t } ∞ t = ∞ = { ... , y - 1 , y 0 , y 1 , y 2 , … , y T , y T + 1 , y T , } $T$

$$\{y_t\}_{t=\infty}^\infty = \{\ldots, y_{-1}, y_0, y_1, y_2, \ldots, y_T, y_{T+1}, y_{T+2}, \ldots, \},$$ нескінченна послідовність все ще розглядатиметься як єдине реалізація в процесі часового ряду. ...$\{y_t\}_{t=\infty}^\infty$

Уявіть собі акумулятор ... комп'ютерів, що генерують послідовності { y ( 1 ) t } ∞ t = - ∞ , { y ( 2 ) t } ∞ t = - ∞ , … , { y ( I ) t } ∞ t = - ∞ , і розглянути можливість спостереження, пов'язаного з датою t, з кожної послідовності: { y ( 1 $I$$\{y_t^{(1)}\}_{t=-\infty}^{\infty},$ $\{y_t^{(2)}\}_{t=-\infty}^{\infty}, \ldots,$ $\{y_t^{(I)}\}_{t=-\infty}^{\infty}$$t$t. ... Це було б описано як зразокреалізацій I випадкової величини

$$\{y_t^{(1)}, y_t^{(2)}, \ldots, y_t^{(I)}\}.$$ $I$$Y_t$

( Аналіз часових рядів , глава 3)

Таким чином, "процес часового ряду" - це набір випадкових змінних індексованих цілими числами$\{Y_t\}$ .$t$

В стохастичних диференціальних рівняннях Бернт Шексендал дає стандартне математичне визначення загального стохастичного процесу:

Визначення 2.1.4. Стохастичний процес є параметрезованих сукупність випадкових величин { Х т } т ∈ Т , певний на імовірнісному просторі ( Ω , F , P ) і припускаючи значення в R

$$\{X_t\}_{t\in T}$$ $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$ $\mathbb{R}^n$

Простір параметрів зазвичай (як у цій книзі) є півполоскою [ 0 , ∞ ) , але він також може бути інтервалом [ a , b ] , невід'ємними цілими числами і навіть підмножинами R n для n $T$$[0,\infty)$$[a,b]$$\mathbb{R}^n$$n\ge 1$

Збираючи їх разом, ми бачимо, що процес часових рядів є стохастичним процесом, індексованим цілими числами.

Деякі люди використовують «тимчасові ряди» , щоб звернутися до реалізації процесу тимчасового ряду (як в статті Вікіпедії ). Ми можемо побачити в мові Гамільтона розумні зусилля, щоб відрізнити процес від реалізації шляхом його використання "часового ряду", щоб він міг використовувати "часовий ряд" для позначення реалізацій (або навіть даних).

$\left\{X_t\right\}$

Визначення стохастичного процесу

$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$S$$\mathbb{R}$

• $\Omega$$S$
• $t$
  • $t \in \mathcal{T}$$X_t$
  • За будь-якого результату $\omega \in \Omega$, $X(\omega)$ це реалізація стохастичного процесу, можливого шляху $X$ через деякий час.

Визначення часового ряду

У той час як стохастичний процес має кристально чітке математичне визначення. Часовий ряд - менш точне поняття, і люди використовують часові ряди для позначення двох споріднених, але різних об'єктів:

1. Як описує WHuber, стохастичний процес, індексований цілими числами або деякою регулярною, додатковою одиницею часу, який в певному сенсі може бути відображений на цілі числа (наприклад, місячні дані).
2. Збір даних, що спостерігається через рівні проміжки часу. Це може бути реалізацією стохастичного процесу, який індексується цілими числами. Іноді це називають даними часових рядів.

Приклад: два обертання таки

Дозволяє $\Omega = \{ \omega_{HH}, \omega_{HT}, \omega_{TH}, \omega_{TT}\}$. Дозволяє$X_1, X_2$ бути результатом фліп 1 і 2 відповідно.

So clearly $\{X_1, X_2\}$ is a stochastic process. People may also call it a time series since the indexing is by integers. People may also call the realization of $X$, eg. $X(\omega_{HH}) = (H, H)$, a time series or time series data.

The difference between a stochastic process and a time series is somewhat like the difference between a cat on a keyboard and an answer on Stack Exchange: Cats on keyboards can produce answers, but cats on keyboards are not answers. Furthermore, not every answer is produced by a cat on a keyboard.

A time series can be understood as a collection of time-value–data-point pairs. A stochastic process on the other hand is a mathematical model or a mathematical description of a distribution of time series¹. Some time series are a realisation of stochastic processes (of either kind). Or, from another point of view: I can use a stochastic process as a model to generate a time series.

Furthermore, time series can also be generated in other ways:

• They can be the result of observations and are thus generated by reality. While I can model reality as a stochastic process (I could also say that I regard reality as a stochastic process), reality is not a stochastic process in the same way that the interior of a box is not a set of points (though we often regard the two equivalent in modelling contexts).

• They can be generated by deterministic processes. Now, strictly speaking, we could (and arguably should) define stochastic processes and deterministic processes in a way that the latter are special cases of the former, but we very rarely make use of this and speaking of deterministic processes as special cases of stochastic processes may cause some confusion – you could compare it to calling $x=2$ a system of non-linear equations.

^{¹ If it is a discrete-time stochastic process. Continuous-time stochastic process are distributions of functions rather than time series.}

I appreciate all contributed discussions/comments on the subject of Time series vs Stochastic process. Here is my understanding of the difference: Time series is a phenomenon observed, recorded as a series of numbers that is indexed with the time at observation; it is most likely a series of observations of a real life phenomenon such as stock prices on the New York Stock Exchange. On the other hand, stochastic process is as always understood as a mathematical representation (not a production) of the time-series.