Чи є нормалізовані еквіваленти Skewness і Kurtosis?

Який би був нормований еквівалент Skewness, який би мав ту саму одиницю, що і дані? Аналогічно, що було б нормованим еквівалентом куртозу? В ідеалі ці функції повинні бути лінійними щодо даних, тобто, якщо всі спостереження повинні бути помножені на коефіцієнт n, нормалізована косоокість і куртоз буде помножена на один і той же коефіцієнт n. Вигода від наявності таких нормованих еквівалентів полягатиме в тому, щоб мати можливість накладати їх поверх стандартного сюжету.

skewness kurtosis

— Ісмаїл Галімі
джерело

Яке цікаве запитання!

— Олексій

Я не впевнений, якою просвітницею було б проілюструвати це на графіках. Причина, яку ми ілюструємо стандартними відхиленнями, полягає в тому, що вони дають природну міру дисперсності даних (якщо вона нормально розподілена): 65% спостережень лежать всередині інтервалу. Я не думаю, що є такі природні візуальні інтерпретації вже третій та четвертий моменти.

— Бен Кун

Що ви намагаєтесь показати про свої дані? Якщо це певна якісна поведінка розподілу, чи може бути кращим сюжет для скрипки ? Але так, все одно, це цікаве питання.

— Бен Кун

Можна відчути перекос і куртоз, подивившись на гістограму, що показує розподіл набору даних, але це дасть дуже суб'єктивне сприйняття цих заходів. Я хотів би зобразити їх на двох лінійних масштабах, один для косості, паралельний осі ділянки коробки і вуса, інший ортогональний до нього. Це може бути зображено як окреме вікно, накладене поверх основного поля. Чим вище цей ящик, тим більше перекошені дані. Чим ширше, тим точніше (високий куртоз).

— Ісмаїл Ґалімі

І дякую за посилання на сюжет для віолони. Це дійсно розумно.

— Ісмаїл Ґалімі

Відповіді:

Заходи від перенапруження навмисно безроздільні .

Звичайний косий момент - це стандартизований третій момент, $E[(\frac{X-\mu}{\sigma})^3]$ .

Якщо ви центруєте, але не стандартизуєте, у вас є $\mu_3=E[(X-\mu)^3]$ ... що явно тоді в кубових одиницях .

Якщо ви хотіли чогось у тих же одиницях, що і $X$ , вам доведеться взяти куб-корінь так само, як ми візьмемо квадратний дисперсійний корінь і отримаємо щось в тих же одиницях вихідних даних. (Однак, будьте обережні, оскільки багато пакунків не прийматимуть кубічних коренів від'ємних чисел, можливо, вам доведеться обчислити це як: $\quad\text{sign}(X-\mu)\times |E(X-\mu)^3|^{1/3}\:$ .)

Я не впевнений, наскільки це буде корисно.

Для деяких інших заходів, пов'язаних з нахилом, на зразок двох заходів косості Пірсона, ви просто помножите на $\sigma$ .

Для зразків нахилу зразка де $\sigma$ і $\mu$ як правило, не відомі, тому що при нахиленості зразка ви зазвичай замінюєте їх власними оцінками вибірки.

Куртоз йде за тією ж схемою - для моменту куртозу вам потрібно буде взяти четверте коріння нестандартного четвертого моменту, щоб отримати щось, що масштабується з даними.

Для деяких інших заходів куртозу їх потрібно було б лише помножити на $\sigma$ .

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

Косоокість і куртоз - це характеристики форми. Отже, якщо я вам скажу, що річ, кулька, кругла, це не має значення, яким є радіус речі. Це може бути маленька кулька або велика кулька . З іншого боку, коли я кажу маленький куля або великий кубик, я маю на увазі розмір предмета, а не форму.

У зв'язку з цим стандартне відхилення - це розмір розподілу, тому косоокість і куртоз нормалізуються за розмірами. Можна також сказати, що стандартне відхилення належить до механіки, а косості та куртозу до геометрії. Тому ні, нам не потрібно мати їх у одиницях вимірювання змінної. Розмір і форма є окремими. Велика і маленька кулька однаково круглі , тобто розмір в цьому випадку не має значення :)

— Аксакал
джерело

Позначення векторів, що поширюється по області $R$ , припустимо нуль і перший момент вже нормалізується. Другий момент обчислюється за допомогою $M_2 = \int_R {x x^T} |dx|$ , тож якщо ми зможемо знайти діагоналізацію $M_2 = P\Lambda^2 P^T$ , тоді ми зможемо визначитись

х^{'} = Λ^{- 1} П^{Т} х

$x'=\Lambda^{-1} P^Tx$ так що

M_{2}

$M_2$ нормалізується:

М_{2 i j}^{'} = \int_{R} (Λ^{- 1} П^{Т} х) (Λ^{- 1} П^{Т} х)^{Т} | г х |

$M'_{2ij} = \int_R {(\Lambda^{-1}P^T x)(\Lambda^{-1} P^T x)^T} |dx|$

= Λ^{- 1} П^{Т} (\int_{R} х х^{Т} | г х |) П Λ^{- 1}

$= \Lambda^{-1} P^T (\int_R { xx^T |dx|}) P \Lambda^{-1}$

= Λ^{- 1} П^{Т} П Λ^{2} П^{Т} П Λ^{- 1} = Я

$= \Lambda^{-1} P^T P \Lambda^2 P^T P \Lambda^{-1} = I$

Геометричне значення другого моменту - «орієнтація», що виправдовується тим, що діагоналізація нормалізує другий момент. Коли косисть обчислюється за цією нормалізацією, вона називається косостістю Мардії .

— Han JaeSeung StudentOfKyoto
джерело