Генерація випадкових зразків з користувацького розподілу

Я намагаюся генерувати випадкові вибірки з користувальницького pdf за допомогою R. Мій pdf такий:

f_{Х} (х) = \frac{3}{2} (1 - х^{2}), 0 \leq х \leq 1

$f_{X}(x) = \frac{3}{2} (1-x^2), 0 \le x \le 1$

Я створив рівномірні зразки, а потім спробував перетворити його на свій власний розподіл. Я зробив це, знайшовши cdf мого розповсюдження ( ) і встановивши його на єдиний зразок ( ) та вирішивши для . $F_{X}(x)$ $u$ $x$

F_{X} (x) = Pr [X \leq x] = \int_{0}^{x} \frac{3}{2} (1 - y^{2}) d y = \frac{3}{2} (x - \frac{x^{3}}{3})

$F_{X}(x) = \Pr[X \le x] = \int_{0}^{x} \frac{3}{2} (1-y^2) dy = \frac{3}{2} (x - \frac{x^3}{3})$

Щоб генерувати випадкову вибірку з наведеним вище розподілом, отримайте рівномірний зразок і вирішіть для у $u \in[0,1]$ $x$

\frac{3}{2} (x - \frac{x^{3}}{3}) = u

$\frac{3}{2} (x - \frac{x^3}{3}) = u$

Я реалізував це в Rі не отримую очікуваного розповсюдження. Чи може хтось вказати на недолік у моєму розумінні?

nsamples <- 1000;
x <- runif(nsamples);

f <- function(x, u) { 
  return(3/2*(x-x^3/3) - u);
}

z <- c();
for (i in 1:nsamples) {
  # find the root within (0,1) 
  r <- uniroot(f, c(0,1), tol = 0.0001, u = x[i])$root;
  z <- c(z, r);
}

r sampling uniform

— Ананд
джерело

Повинно бути помилкою кодування. Я не використовую R, тому я не можу сказати, у чому полягає помилка - але я просто зашифрував ваше рішення (дбаючи про те, щоб взяти середній корінь кубічного многочлена, який завжди лежить між 0 і 1), і Я отримую гарну згоду між зразками та очікуваним розподілом. Чи може бути проблема з вашим кореневим шукачем? Що не так із зразками, які ви отримуєте?

— jpillow

Я спробував ваш код (до речі, не дуже ефективний) і отримав очікуване розповсюдження.

— Аніко

@jpillow та @Aniko Моя помилка. Коли я використовував, nsamples <- 1e6це був хороший матч.

— Ананд

@Anand Один із способів полягає в тому, щоб помітити, що

, що дозволяє прямий обчислення

у термінах

x = 2 \sin (\arcsin (u) / 3)

$x = 2\sin(\arcsin(u)/3)$

x

$x$

u

$u$

— whuber

@Anand en.wikipedia.org/wiki/…

— whuber

Схоже, ви зрозуміли, що ваш код працює, але @Aniko зазначив, що ви можете покращити його ефективність. Ваш найбільший приріст швидкості, ймовірно, відбудеться від попереднього розподілу пам'яті, zщоб ви не зростали її всередині циклу. Щось подібне z <- rep(NA, nsamples)повинно зробити трюк. Ви можете отримати невеликий приріст швидкості, використовуючи vapply()(який вказує тип повернутої змінної) замість явного циклу ( у сімейства застосувань є велике запитання щодо ТА).

> nsamples <- 1E5
> x <- runif(nsamples)
> f <- function(x, u) 1.5 * (x - (x^3) / 3) - u
> z <- c()
> 
> # original version
> system.time({
+ for (i in 1:nsamples) {
+   # find the root within (0,1) 
+   r <- uniroot(f, c(0,1), tol = 0.0001, u = x[i])$root
+   z <- c(z, r)
+ }
+ })
   user  system elapsed 
  49.88    0.00   50.54 
> 
> # original version with pre-allocation
> z.pre <- rep(NA, nsamples)
> system.time({
+ for (i in 1:nsamples) {
+   # find the root within (0,1) 
+   z.pre[i] <- uniroot(f, c(0,1), tol = 0.0001, u = x[i])$root
+   }
+ })
   user  system elapsed 
   7.55    0.01    7.78 
> 
> 
> 
> # my version with sapply
> my.uniroot <- function(x) uniroot(f, c(0, 1), tol = 0.0001, u = x)$root
> system.time({
+   r <- vapply(x, my.uniroot, numeric(1))
+ })
   user  system elapsed 
   6.61    0.02    6.74 
> 
> # same results
> head(z)
[1] 0.7803198 0.2860108 0.5153724 0.2479611 0.3451658 0.4682738
> head(z.pre)
[1] 0.7803198 0.2860108 0.5153724 0.2479611 0.3451658 0.4682738
> head(r)
[1] 0.7803198 0.2860108 0.5153724 0.2479611 0.3451658 0.4682738

І вам не потрібно ;в кінці кожного рядка (ви перетворюєте MATLAB?).

— Річард Геррон
джерело

Дякуємо за детальну відповідь та за вказівку vapply. Я кодую C/C++вже дуже давно, і це є причиною ;скорботи!

— Ананд

uniroot

10^{7}

$10^7$