Як інтерпретувати оцінки параметрів у результатах Poisson GLM [закрито]

Call:
glm(formula = darters ~ river + pH + temp, family = poisson, data = darterData)

Deviance Residuals:
    Min      1Q   Median     3Q    Max
-3.7422 -1.0257   0.0027 0.7169 3.5347

Coefficients:
              Estimate Std.Error z value Pr(>|z|)
(Intercept)   3.144257  0.218646  14.381  < 2e-16 ***
riverWatauga -0.049016  0.051548  -0.951  0.34166
pH            0.086460  0.029821   2.899  0.00374 **
temp         -0.059667  0.009149  -6.522  6.95e-11 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
Null deviance: 233.68 on 99 degrees of freedom
Residual deviance: 187.74 on 96 degrees of freedom
AIC: 648.21

Я хочу знати, як інтерпретувати кожну оцінку параметрів у таблиці вище.

Я не думаю, що заголовок вашого питання точно відображає те, що ви просите.

Питання про інтерпретацію параметрів у GLM дуже широке, оскільки GLM - це дуже широкий клас моделей. Нагадаємо, що GLM моделює змінну відповіді яка, як передбачається, слідкує за відомим розподілом з експонентного сімейства, і що ми обрали обернену функцію таку, що для змінних предиктора . У цій моделі інтерпретація будь-якого конкретного параметра - швидкість зміни відносно . Визначтеg E [ $y$$g$ J x β j g ( y

$$\mathrm{E}\left[y\,|\,x\right] = g^{-1}{\left(x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J\right)}$$ $J$$x$$\beta_j$$g(y)$ μ ≡ E [ $x_j$ η≡x⋅βj∈{1,…,J} β j =$\mu \equiv \mathrm{E}{\left[y\,|\,x\right]} = g^{-1}{\left(x\right)}$та щоб зберегти нотацію чистою. Тоді для будь-якого , Тепер визначте як вектор нулів та одиничний у му положенні, так що, наприклад, якщо то . Тоді $\eta \equiv x \cdot \beta$$j \in \{1,\dots,J\}$ejJ-11jJ=5e3=(0,0,1,0,0)βj=g(E [ $$\beta_j = \frac{\partial\,\eta}{\partial\,x_j} = \frac{\partial\,g(\mu)}{\partial\,x_j} \text{.}$$ $\mathfrak{e}_j$$J-1$$1$$j$$J=5$$\mathfrak{e}_3 = \left(0,0,1,0,0\right)$ $$\beta_j = g{\left(\mathrm{E}{\left[y\,|\,x + \mathfrak{e}_j \right]}\right)} - g{\left(\mathrm{E}{\left[y\,|\,x\right]}\right)}$$

Що просто означає, що - це вплив на збільшення одиниці в . η x $\beta_j$$\eta$$x_j$

Ви також можете вказати зв’язок таким чином: і E[

$$\frac{\operatorname{\partial}\mathrm{E}{\left[y\,|\,x\right]}}{\operatorname{\partial}x_j} = \frac{\operatorname{\partial}\mu}{\operatorname{\partial}x_j} = \frac{\operatorname{d}\mu}{\operatorname{d}\eta}\frac{\operatorname{\partial}\eta}{\operatorname{\partial}x_j} = \frac{\operatorname{\partial}\mu}{\operatorname{\partial}\eta} \beta_j = \frac{\operatorname{d}g^{-1}}{\operatorname{d}\eta} \beta_j$$ $$\mathrm{E}{\left[y\,|\,x + \mathfrak{e}_j \right]} - \mathrm{E}{\left[y\,|\,x\right]} \equiv \operatorname{\Delta_j} \hat y = g^{-1}{\left( \left(x + \mathfrak{e}_j\right)\beta \right)} - g^{-1}{\left( x\,\beta \right)}$$

Не знаючи нічого про , це настільки, наскільки ми можемо отримати. - це вплив на , на перетворене середнє умовне значення , одиничного збільшення , а вплив на умовне середнє значення одиничного збільшення становить .$g$$\beta_j$$\eta$$y$$x_j$$y$$x_j$$g^{-1}{\left(\beta\right)}$

---

Але, здається, ви запитуєте конкретно про регресію Пуассона, використовуючи функцію зв'язку R за замовчуванням, що в даному випадку є природним логарифмом. Якщо це так, ви запитуєте про конкретний вид GLM, у якому і . Тоді ми можемо отримати деяку тягу щодо конкретної інтерпретації.$y \sim \mathrm{Poisson}{\left(\lambda\right)}$$g = \ln$

З того, що я сказав вище, ми знаємо, що . А оскільки ми знаємо , ми також знаємо, що . Ми також трапляємося, що , тому ми можемо сказати, що $\frac{\operatorname{\partial}\mu}{\operatorname{\partial}x_j} = \frac{\operatorname{d}g^{-1}}{\operatorname{d}\eta} \beta_j$$g(\mu) = \ln(\mu)$$g^{-1}(\eta) = e^\eta$$\frac{\operatorname{d}e^\eta}{\operatorname{d}\eta} = e^\eta$

$$\frac{\operatorname{\partial}\mu}{\operatorname{\partial}x_j} = \frac{\operatorname{\partial}\mathrm{E}{\left[y\,|\,x\right]}}{\operatorname{\partial}x_j} = e^{x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J}\beta_j$$

що нарешті означає щось відчутне:

Враховуючи дуже невелику зміну , змінюється на .$x_j$$\hat y$$\hat y\,\beta_j$

Зауважте: це наближення може насправді працювати при змінах на рівні 0,2, залежно від того, яка точність вам потрібна.

І, використовуючи більш звичну інтерпретацію зміни одиниць, ми маємо: що означає

$$\begin{align} \operatorname{\Delta_j} \hat y &= e^{ x_0 + x_1\beta_1 + \dots + \left(x_j + 1\right)\,\beta_j + \dots + x_J\beta_J } - e^{x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J} \\ &= e^{ x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J + \beta_j} - e^{x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J} \\ &= e^{ x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J}e^\beta_j - e^{x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J} \\ &= e^{ x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J} \left( e^\beta_j - 1 \right) \end{align}$$

Враховуючи зміну одиниці в , придатний змінюється на .у у ( е β J - 1 $x_j$$\hat y$$\hat y \left( e^\beta_j - 1 \right)$

Тут слід зазначити три важливі частини:

1. Ефект зміни предикторів залежить від рівня реакції.
2. Адитивна зміна предикторів має мультиплікативний вплив на реакцію.
3. Ви не можете інтерпретувати коефіцієнти, просто читаючи їх (якщо тільки ви не можете обчислити довільні експоненти в голові).

Отже, у вашому прикладі ефект підвищення pH на 1 полягає у збільшенні на ; тобто помножити на . Схоже, ваш результат - це кількість перекусів, які ви спостерігаєте за певний час (скажімо, тиждень). Тож якщо ви спостерігаєте за 100 датерів на тиждень при рН 6,7, підняття рН річки до 7,7 означає, що тепер ви можете розраховувати на 109 дартрів на тиждень.у ( е 0,09 - 1 ) у й 0,09 ≈ $\ln \hat y$$\hat y \left( e^{0.09} - 1 \right)$ $\hat y$$e^{0.09} \approx 1.09$

Моєю пропозицією було б створити невелику сітку, що складається з комбінацій двох річок і двох-трьох значень кожного з коваріатів, а потім використовувати predictфункцію з вашою сіткою як newdata. Потім графік результатів. Набагато чіткіше подивитися на значення, які модель насправді передбачає. Ви можете або не хочете перетворювати прогнози на початкову шкалу вимірювання ( type = "response").