Гранична ймовірність виходу Гіббса

Я відтворюю з нуля результати в розділі 4.2.1 від

Сіддхартха Чиб

Журнал Американської статистичної асоціації, Vol. 90, № 432. (груд., 1995), стор 1313-1321.

Це суміш нормальної моделі з відомим числом $k\geq 1$ компонентів.

f (x ∣ w, μ, σ^{2}) = \prod_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{k} N (x_{i} ∣ μ_{j}, σ_{j}^{2}) . (*)

$f(x\mid w,\mu,\sigma^2) =\prod_{i=1}^n\sum_{j=1}^k \mathrm{N}(x_i\mid\mu_j,\sigma_j^2) \, . \qquad (*)$

$z=(z_1,\dots,z_n)$ $1,\dots,k$ $\Pr(z_i=j\mid w)=w_j$ $f(x_i\mid z,\mu,\sigma^2)=\mathrm{N}(x_i\mid\mu_{z_i},\sigma^2_{z_i})$ $z_i$ $(*)$

Набір даних формується зі швидкостей галактик із сузір'я Корона Бореаліс. $82$

set.seed(1701)

x <- c(  9.172,  9.350,  9.483,  9.558,  9.775, 10.227, 10.406, 16.084, 16.170, 18.419, 18.552, 18.600, 18.927,
        19.052, 19.070, 19.330, 19.343, 19.349, 19.440, 19.473, 19.529, 19.541, 19.547, 19.663, 19.846, 19.856,
        19.863, 19.914, 19.918, 19.973, 19.989, 20.166, 20.175, 20.179, 20.196, 20.215, 20.221, 20.415, 20.629,
        20.795, 20.821, 20.846, 20.875, 20.986, 21.137, 21.492, 21.701, 21.814, 21.921, 21.960, 22.185, 22.209,
        22.242, 22.249, 22.314, 22.374, 22.495, 22.746, 22.747, 22.888, 22.914, 23.206, 23.241, 23.263, 23.484,
        23.538, 23.542, 23.666, 23.706, 23.711, 24.129, 24.285, 24.289, 24.366, 24.717, 24.990, 25.633, 26.960,
        26.995, 32.065, 32.789, 34.279 )

nn <- length(x)

Будемо вважати, що , 'і ' a незалежні апріорі з $w$ $\mu_j$ $\sigma^2_j$

(ш_{1}, \dots, ш_{к}) \sim D i r (а_{1}, \dots, а_{к}), {мк}_{j} \sim N ({мк}_{0}, σ_{0}^{2}), σ_{j}^{2} \sim Я Г (\frac{ν_{0}}{2}, \frac{δ_{0}}{2}) .

$(w_1,\dots,w_k) \sim \mathrm{Dir}(a_1,\dots,a_k) \, , \quad \mu_j \sim \mathrm{N}(\mu_0,\sigma_0^2) \, , \quad \sigma^2_j\sim\mathrm{IG}\!\left(\frac{\nu_0}{2},\frac{\delta_0}{2}\right) \, .$

k <- 3

mu0 <- 20
va0 <- 100

nu0 <- 6
de0 <- 40

a <- rep(1, k)

Використовуючи теорему Байєса, повні умови є в якому з

\begin{aligned} ш ∣ мк, σ^{2}, z, х & \sim D i r (а_{1} + н_{1}, \dots, а_{к} + н_{к}) \\ {мк}_{j} ∣ ш, σ^{2}, z, х & \sim N (\frac{н_{j} м_{j} σ_{0}^{2} + {мк}_{0} σ_{j}^{2}}{н_{j} σ_{0}^{2} + σ_{j}^{2}}, \frac{σ_{0}^{2} σ_{j}^{2}}{н_{j} σ_{0}^{2} + σ_{j}^{2}}) \\ σ_{j}^{2} ∣ ш, мк, z, х & \sim Я Г (\frac{ν_{0} + н_{j}}{2}, \frac{δ_{0} + δ_{j}}{2}) \\ Пр (z_{i} = j ∣ ш, мк, σ^{2}, х) & \propto ш_{j} \times \frac{1}{σ_{j}} е^{- (х_{i} - {мк}_{j})^{2} / 2 σ_{j}^{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} w \mid \mu,\sigma^2,z,x &\sim \mathrm{Dir}(a_1+n_1,\dots,a_k+n_k) \\ \mu_j \mid w, \sigma^2,z,x &\sim \mathrm{N}\!\left( \frac{n_j m_j\sigma_0^2+\mu_0\sigma_j^2}{n_j\sigma^2_0+\sigma^2_j}, \frac{\sigma^2_0\sigma^2_j}{n_j\sigma^2_0+\sigma^2_j}\right) \\ \sigma_j^2 \mid w,\mu,z,x &\sim \mathrm{IG}\!\left( \frac{\nu_0+n_j}{2},\frac{\delta_0+\delta_j}{2}\right) \\ \Pr(z_i=j\mid w,\mu,\sigma^2,x) &\propto w_j \times \frac{1}{\sigma_j}e^{-(x_i-\mu_j)^2/2\sigma_j^2} \end{align*}$

н_{j} = | L_{j} |, м_{j} = {\begin{cases} \frac{1}{н_{j}} \sum_{i \in L_{j}} х_{i} & i f н_{j} > 0 \\ 0 & о т год е r ш i с е . \end{cases}, δ_{j} = \sum_{i \in L_{j}} (х_{i} - {мк}_{j})^{2},

$n_j = |L_j| \, , \qquad m_j = \begin{cases}\frac{1}{n_j}\sum_{i\in L_j} x_i &\;\mathrm{if}\; n_j>0 \\ 0 &\;\mathrm{otherwise.} \end{cases}\, , \qquad \delta_j = \sum_{i\in L_j} (x_i-\mu_j)^2 \, ,$

L_{j} = {i \in {1, \dots, n} : z_{i} = j}

$L_j=\{i\in\{1,\dots,n\}:z_i=j\}$ .

Мета - обчислити оцінку граничної ймовірності моделі. Метод Чиба починається з першого запуску пробовідбірника Гіббса з використанням повних умов.

burn_in <- 1000
run     <- 15000

cat("First Gibbs run (full):\n")

N <- burn_in + run

w  <- matrix(1, nrow = N, ncol = k)
mu <- matrix(0, nrow = N, ncol = k)
va <- matrix(1, nrow = N, ncol = k)
z  <- matrix(1, nrow = N, ncol = nn)

n <- integer(k)
m <- numeric(k)
de <- numeric(k)

rdirichlet <- function(a) { y <- rgamma(length(a), a, 1); y / sum(y) }

pb <- txtProgressBar(min = 2, max = N, style = 3)
z[1,] <- sample.int(k, size = nn, replace = TRUE)
for (t in 2:N) {
    n <- tabulate(z[t-1,], nbins = k)
    w[t,] <- rdirichlet(a + n)
    m <- sapply(1:k, function(j) sum(x[z[t-1,]==j]))
    m[n > 0] <- m[n > 0] / n[n > 0]
    mu[t,] <- rnorm(k, mean = (n*m*va0+mu0*va[t-1,])/(n*va0+va[t-1,]), sd = sqrt(va0*va[t-1,]/(n*va0+va[t-1,])))
    de <- sapply(1:k, function(j) sum((x[z[t-1,]==j] - mu[t,j])^2))
    va[t,] <- 1 / rgamma(k, shape = (nu0+n)/2, rate = (de0+de)/2)
    z[t,] <- sapply(1:nn, function(i) sample.int(k, size = 1, prob = exp(log(w[t,]) + dnorm(x[i], mean = mu[t,], sd = sqrt(va[t,]), log = TRUE))))
    setTxtProgressBar(pb, t)
}
close(pb)

З цього першого запуску ми отримуємо приблизну точку максимальної ймовірності. Оскільки ймовірність насправді не обмежена, те, що ця процедура, ймовірно, дає, є приблизним місцевим ПДЧ. $(w^*,\mu^*,\sigma^{2*})$

w  <- w[(burn_in+1):N,]
mu <- mu[(burn_in+1):N,]
va <- va[(burn_in+1):N,]
z  <- z[(burn_in+1):N,]
N  <- N - burn_in

log_L <- function(x, w, mu, va) sum(log(sapply(1:nn, function(i) sum(exp(log(w) + dnorm(x[i], mean = mu, sd = sqrt(va), log = TRUE))))))

ts <- which.max(sapply(1:N, function(t) log_L(x, w[t,], mu[t,], va[t,])))

ws <- w[ts,]
mus <- mu[ts,]
vas <- va[ts,]

Логічна оцінка Чібі граничної ймовірності -

\begin{aligned} журнал \hat{f (х)} & = журнал L_{х} (ш^{*}, {мк}^{*}, σ^{2 *}) + журнал π (ш^{*}, {мк}^{*}, σ^{2 *}) \\ - журнал π ({мк}^{*} ∣ х) - журнал π (σ^{2 *} ∣ {мк}^{*}, х) - журнал π (ш^{*} ∣ {мк}^{*}, σ^{2 *}, х) . \end{aligned}

$\begin{align} \log \widehat{f(x)} &= \log L_x(w^*,\mu^*,\sigma^{2*}) + \log \pi(w^*,\mu^*,\sigma^{2*}) \\ &- \log \pi(\mu^*\mid x) - \log \pi(\sigma^{2*}\mid \mu^*,x) - \log \pi(w^*\mid \mu^*,\sigma^{2*},x) \, . \end{align}$

Перші два терміни у нас вже є.

log_prior <- function(w, mu, va) {
    lgamma(sum(a)) - sum(lgamma(a)) + sum((a-1)*log(w))
    + sum(dnorm(mu, mean = mu0, sd = sqrt(va0), log = TRUE))
    + sum((nu0/2)*log(de0/2) - lgamma(nu0/2) - (nu0/2+1)*log(va) - de0/(2*va))
}

chib <- log_L(x, ws, mus, vas) + log_prior(ws, mus, vas)

Раочервона оцінка - і легко отримується з першого запуску Гіббса. $\pi(\mu^*\mid x)$

π ({мк}^{*} ∣ х) = \int \prod_{j = 1}^{к} N ({мк}_{j}^{*} | \frac{н_{j} м_{j} σ_{0}^{2} + {мк}_{0} σ_{j}^{2}}{н_{j} σ_{0}^{2} + σ_{j}^{2}}, \frac{σ_{0}^{2} σ_{j}^{2}}{н_{j} σ_{0}^{2} + σ_{j}^{2}}) p (σ^{2}, z ∣ х) г σ^{2} г z,

$\pi(\mu^*\mid x) = \int \prod_{j=1}^k \mathrm{N}\!\left(\mu_j^* \;\Bigg|\; \frac{n_j m_j\sigma_0^2+\mu_0\sigma_j^2}{n_j\sigma^2_0+\sigma^2_j}, \frac{\sigma^2_0\sigma^2_j}{n_j\sigma^2_0+\sigma^2_j}\right)\,p(\sigma^{2},z\mid x)\,d\sigma^2\,dz \, ,$

pi.mu_va.z.x <- function(mu, va, z) {
    n <- tabulate(z, nbins = k)
    m <- sapply(1:k, function(j) sum(x[z==j]))
    m[n > 0] <- m[n > 0] / n[n > 0]
    exp(sum(dnorm(mu, mean = (n*m*va0+mu0*va)/(n*va0+va), sd = sqrt(va0*va/(n*va0+va)), log = TRUE)))
}

chib <- chib - log(mean(sapply(1:N, function(t) pi.mu_va.z.x(mus, va[t,], z[t,]))))

Рао-чорноплікова оцінка дорівнює і обчислюється з другого скороченого запуску Гіббса, в якому не оновлюється, а робиться дорівнює на кожному кроці ітерації. $\pi(\sigma^{2*}\mid \mu^*,x)$

π (σ^{2 *} ∣ {мк}^{*}, х) = \int \prod_{j = 1}^{к} Я Г (σ_{j}^{2 *} | \frac{ν_{0} + н_{j}}{2}, \frac{δ_{0} + δ_{j}}{2}) p (z ∣ {мк}^{*}, х) г z,

$\pi(\sigma^{2*}\mid \mu^*,x) = \int \prod_{j=1}^k \mathrm{IG}\!\left( \sigma^{2*}_j \;\Bigg|\; \frac{\nu_0+n_j}{2},\frac{\delta_0+\delta_j}{2}\right) \, p(z\mid\mu^*,x)\,dz \, ,$

μ_{j}

$\mu_j$

μ_{j}^{*}

$\mu^*_j$

cat("Second Gibbs run (reduced):\n")

N <- burn_in + run

w  <- matrix(1, nrow = N, ncol = k)
va <- matrix(1, nrow = N, ncol = k)
z  <- matrix(1, nrow = N, ncol = nn) 

pb <- txtProgressBar(min = 2, max = N, style = 3)
z[1,] <- sample.int(k, size = nn, replace = TRUE)
for (t in 2:N) {
    n <- tabulate(z[t-1,], nbins = k)
    w[t,] <- rdirichlet(a + n)
    de <- sapply(1:k, function(j) sum((x[z[t-1,]==j] - mus[j])^2))
    va[t,] <- 1 / rgamma(k, shape = (nu0+n)/2, rate = (de0+de)/2)
    z[t,] <- sapply(1:nn, function(i) sample.int(k, size = 1, prob = exp(log(w[t,]) + dnorm(x[i], mean = mus, sd = sqrt(va[t,]), log = TRUE))))
    setTxtProgressBar(pb, t)
}
close(pb)

w  <- w[(burn_in+1):N,]
va <- va[(burn_in+1):N,]
z  <- z[(burn_in+1):N,]
N  <- N - burn_in

pi.va_mu.z.x <- function(va, mu, z) {
    n <- tabulate(z, nbins = k)         
    de <- sapply(1:k, function(j) sum((x[z==j] - mu[j])^2))
    exp(sum(((nu0+n)/2)*log((de0+de)/2) - lgamma((nu0+n)/2) - ((nu0+n)/2+1)*log(va) - (de0+de)/(2*va)))
}

chib <- chib - log(mean(sapply(1:N, function(t) pi.va_mu.z.x(vas, mus, z[t,]))))

Таким же чином Рао-чорноосвітлена оцінка є і обчислюється з третього зменшеного запуску Гіббса, в якому і не оновлюються, а дорівнюють і відповідно на кожному кроці ітерації. $\pi(w^*\mid \mu^*,\sigma^{2*},x)$

π (ш^{*} ∣ {мк}^{*}, σ^{2 *}, х) = \int D i r (ш^{*} ∣ а_{1} + н_{1}, \dots, а_{к} + н_{к}) p (z ∣ {мк}^{*}, σ^{2 *}, х) г z,

$\pi(w^*\mid \mu^*,\sigma^{2*},x) = \int \mathrm{Dir}(w^* \mid a_1+n_1,\dots,a_k+n_k) \, p(z\mid\mu^*,\sigma^{2*},x)\,dz \, ,$

μ_{j}

$\mu_j$

σ_{j}^{2}

$\sigma^2_j$

μ_{j}^{*}

$\mu^*_j$

σ_{j}^{2 *}

$\sigma^{2*}_j$

cat("Third Gibbs run (reduced):\n")

N <- burn_in + run

w  <- matrix(1, nrow = N, ncol = k)
z  <- matrix(1, nrow = N, ncol = nn) 

pb <- txtProgressBar(min = 2, max = N, style = 3)
z[1,] <- sample.int(k, size = nn, replace = TRUE)
for (t in 2:N) {
    n <- tabulate(z[t-1,], nbins = k)
    w[t,] <- rdirichlet(a + n)
    z[t,] <- sapply(1:nn, function(i) sample.int(k, size = 1, prob = exp(log(w[t,]) + dnorm(x[i], mean = mus, sd = sqrt(vas), log = TRUE))))
    setTxtProgressBar(pb, t)
}
close(pb)

w  <- w[(burn_in+1):N,]
z  <- z[(burn_in+1):N,]
N  <- N - burn_in

pi.w_z.x <- function(w, z) {
    n <- tabulate(z, nbins = k)
    exp(lgamma(sum(a+n)) - sum(lgamma(a+n)) + sum((a+n-1)*log(w)))
}

chib <- chib - log(mean(sapply(1:N, function(t) pi.w_z.x(ws, z[t,]))))

Після всього цього ми отримуємо оцінку журналу що більше, ніж те, про що повідомляв Chib: з помилкою Монте-Карло . $-217.9199$ $-224.138$ $.086$

Щоб перевірити, чи я якимось чином зіпсував пробовідбірники Гіббса, я повторно доповнив цю справу за допомогою RJAGS. Наступний код дає ті самі результати.

x <- c( 9.172,  9.350,  9.483,  9.558,  9.775, 10.227, 10.406, 16.084, 16.170, 18.419, 18.552, 18.600, 18.927, 19.052, 19.070, 19.330,
       19.343, 19.349, 19.440, 19.473, 19.529, 19.541, 19.547, 19.663, 19.846, 19.856, 19.863, 19.914, 19.918, 19.973, 19.989, 20.166,
       20.175, 20.179, 20.196, 20.215, 20.221, 20.415, 20.629, 20.795, 20.821, 20.846, 20.875, 20.986, 21.137, 21.492, 21.701, 21.814,
       21.921, 21.960, 22.185, 22.209, 22.242, 22.249, 22.314, 22.374, 22.495, 22.746, 22.747, 22.888, 22.914, 23.206, 23.241, 23.263,
       23.484, 23.538, 23.542, 23.666, 23.706, 23.711, 24.129, 24.285, 24.289, 24.366, 24.717, 24.990, 25.633, 26.960, 26.995, 32.065,
       32.789, 34.279 )

library(rjags)

nn <- length(x)

k <- 3

mu0 <- 20
va0 <- 100

nu0 <- 6
de0 <- 40

a <- rep(1, k)

burn_in <- 10^3

N <- 10^4

full <- "
    model {
        for (i in 1:n) {
            x[i] ~ dnorm(mu[z[i]], tau[z[i]])
            z[i] ~ dcat(w[])
        }
        for (i in 1:k) {
            mu[i] ~ dnorm(mu0, 1/va0)
            tau[i] ~ dgamma(nu0/2, de0/2)
            va[i] <- 1/tau[i]
        }
        w ~ ddirich(a)
    }
"
data <- list(x = x, n = nn, k = k, mu0 = mu0, va0 = va0, nu0 = nu0, de0 = de0, a = a)
model <- jags.model(textConnection(full), data = data, n.chains = 1, n.adapt = 100)
update(model, n.iter = burn_in)
samples <- jags.samples(model, c("mu", "va", "w", "z"), n.iter = N)

mu <- matrix(samples$mu, nrow = N, byrow = TRUE)
    va <- matrix(samples$va, nrow = N, byrow = TRUE)
w <- matrix(samples$w, nrow = N, byrow = TRUE)
    z <- matrix(samples$z, nrow = N, byrow = TRUE)

log_L <- function(x, w, mu, va) sum(log(sapply(1:nn, function(i) sum(exp(log(w) + dnorm(x[i], mean = mu, sd = sqrt(va), log = TRUE))))))

ts <- which.max(sapply(1:N, function(t) log_L(x, w[t,], mu[t,], va[t,])))

ws <- w[ts,]
mus <- mu[ts,]
vas <- va[ts,]

log_prior <- function(w, mu, va) {
    lgamma(sum(a)) - sum(lgamma(a)) + sum((a-1)*log(w))
    + sum(dnorm(mu, mean = mu0, sd = sqrt(va0), log = TRUE))
    + sum((nu0/2)*log(de0/2) - lgamma(nu0/2) - (nu0/2+1)*log(va) - de0/(2*va))
}

chib <- log_L(x, ws, mus, vas) + log_prior(ws, mus, vas)

cat("log-likelihood + log-prior =", chib, "\n")

pi.mu_va.z.x <- function(mu, va, z, x) {
    n <- sapply(1:k, function(j) sum(z==j))
    m <- sapply(1:k, function(j) sum(x[z==j]))
    m[n > 0] <- m[n > 0] / n[n > 0]
    exp(sum(dnorm(mu, mean = (n*m*va0+mu0*va)/(n*va0+va), sd = sqrt(va0*va/(n*va0+va)), log = TRUE)))
}

chib <- chib - log(mean(sapply(1:N, function(t) pi.mu_va.z.x(mus, va[t,], z[t,], x))))

cat("log-likelihood + log-prior - log-pi.mu_ =", chib, "\n")

fixed.mu <- "
    model {
        for (i in 1:n) {
            x[i] ~ dnorm(mus[z[i]], tau[z[i]])
            z[i] ~ dcat(w[])
        }
        for (i in 1:k) {
            tau[i] ~ dgamma(nu0/2, de0/2)
            va[i] <- 1/tau[i]
        }
        w ~ ddirich(a)
    }
"
data <- list(x = x, n = nn, k = k, nu0 = nu0, de0 = de0, a = a, mus = mus)
model <- jags.model(textConnection(fixed.mu), data = data, n.chains = 1, n.adapt = 100)
update(model, n.iter = burn_in)
samples <- jags.samples(model, c("va", "w", "z"), n.iter = N)

va <- matrix(samples$va, nrow = N, byrow = TRUE)
    w <- matrix(samples$w, nrow = N, byrow = TRUE)
z <- matrix(samples$z, nrow = N, byrow = TRUE)

pi.va_mu.z.x <- function(va, mu, z, x) {
    n <- sapply(1:k, function(j) sum(z==j))
    de <- sapply(1:k, function(j) sum((x[z==j] - mu[j])^2))
    exp(sum(((nu0+n)/2)*log((de0+de)/2) - lgamma((nu0+n)/2) - ((nu0+n)/2+1)*log(va) - (de0+de)/(2*va)))
}

chib <- chib - log(mean(sapply(1:N, function(t) pi.va_mu.z.x(vas, mus, z[t,], x))))

cat("log-likelihood + log-prior - log-pi.mu_ - log-pi.va_ =", chib, "\n")

fixed.mu.and.va <- "
    model {
        for (i in 1:n) {
            x[i] ~ dnorm(mus[z[i]], 1/vas[z[i]])
            z[i] ~ dcat(w[])
        }
        w ~ ddirich(a)
    }
"
data <- list(x = x, n = nn, a = a, mus = mus, vas = vas)
model <- jags.model(textConnection(fixed.mu.and.va), data = data, n.chains = 1, n.adapt = 100)
update(model, n.iter = burn_in)
samples <- jags.samples(model, c("w", "z"), n.iter = N)

w <- matrix(samples$w, nrow = N, byrow = TRUE)
    z <- matrix(samples$z, nrow = N, byrow = TRUE)

pi.w_z.x <- function(w, z, x) {
    n <- sapply(1:k, function(j) sum(z==j))
    exp(lgamma(sum(a)+nn) - sum(lgamma(a+n)) + sum((a+n-1)*log(w)))
}

chib <- chib - log(mean(sapply(1:N, function(t) pi.w_z.x(ws, z[t,], x))))

cat("log-likelihood + log-prior - log-pi.mu_ - log-pi.va_ - log-pi.w_ =", chib, "\n")

Моє запитання, чи є у наведеному вище описі якісь непорозуміння методу Чіба чи якісь помилки в його реалізації.

bayesian mixture gibbs

— Дзен
джерело

Запустивши моделювання 100 разів, результати знаходяться в діапазоні .

[- 218.7655; - 216.8824]

$[-218.7655; -216.8824]$

— Дзен

Існує невелика помилка програмування в попередньому

log_prior <- function(w, mu, va) {
    lgamma(sum(a)) - sum(lgamma(a)) + sum((a-1)*log(w))
    + sum(dnorm(mu, mean = mu0, sd = sqrt(va0), log = TRUE))
    + sum((nu0/2)*log(de0/2) - lgamma(nu0/2) - (nu0/2+1)*log(va) - de0/(2*va))
}

як має бути замість цього

log_prior <- function(w, mu, va) {
    lgamma(sum(a)) - sum(lgamma(a)) + sum((a-1)*log(w)) +
      sum(dnorm(mu, mean = mu0, sd = sqrt(va0), log = TRUE)) +
      sum((nu0/2)*log(de0/2) - lgamma(nu0/2) - (nu0/2+1)*log(va) - de0/(2*va))
}

Перенастроювання коду цим способом призводить

> chib
[1] -228.194

що не є величиною, виробленою в Chib (1995) для цього випадку! Однак у реальному аналізі проблеми Ніла (1999) він згадує про це

За словами одного анонімного арбітра JASA, цифра -224,138 для журналу граничної ймовірності для трикомпонентної моделі з неоднаковими відхиленнями, яка була надана в роботі Чіба, є "друкарським помилкою", якщо правильна цифра становила -228.608.

Таким чином, це вирішує питання розбіжності.

— Сіань
джерело

Професор Крістіан Роберт та Кейт Лі: ти знаєш, наскільки ти великий?

— Дзен

До речі, це безумовно приклад "злого синтаксису". Я цього не забуду.

— Дзен