Чому регрес хребта glmnet дає мені іншу відповідь, ніж ручний розрахунок?

Я використовую glmnet для розрахунку оцінок регресії хребта. Я отримав певні результати, які змусили мене підозріти в тому, що glmnet справді робить те, що, на мою думку, це робить. Щоб перевірити це, я написав простий R-скрипт, де я порівнюю результат регресії хребта, виконаного рішенням, і той, який є в glmnet, різниця значна:

n    <- 1000
p.   <-  100
X.   <- matrix(rnorm(n*p,0,1),n,p)
beta <- rnorm(p,0,1)
Y    <- X%*%beta+rnorm(n,0,0.5)

beta1 <- solve(t(X)%*%X+5*diag(p),t(X)%*%Y)
beta2 <- glmnet(X,Y, alpha=0, lambda=10, intercept=FALSE, standardize=FALSE, 
                family="gaussian")$beta@x
beta1-beta2

Норма різниці зазвичай становить приблизно 20, що не може бути пов'язано з чисельно різними алгоритмами, я повинен робити щось не так. Які параметри я повинен встановити glmnet, щоб отримати такий самий результат, як і у хребта?

Різниця, яку ви спостерігаєте, пояснюється додатковим поділом на кількість спостережень, N, яке GLMNET використовує у своїй цільовій функції та неявній стандартизації Y за стандартним відхиленням вибірки, як показано нижче.

$$\frac{1}{2N}\left\|\frac{y}{s_y}-X\beta\right\|^2_{2}+\lambda\|\beta\|^2_{2}/2$$

де ми використовуємо замість для , $1/n$$1/(n-1)$$s_y$

$$s_y=\frac{\sum_i(y_i-\bar{y})^2}{n}$$

Розмежуючи відносно бета-версії, встановлюючи рівняння на нуль,

$$X^TX\beta-\frac{X^Ty}{s_y}+N\lambda\beta =0$$

І вирішуючи бета, ми отримуємо оцінку,

$$\tilde{\beta}_{GLMNET}= (X^TX+N\lambda I_p)^{-1}\frac{X^Ty}{s_y}$$

Щоб відновити оцінки (і їх відповідні штрафні санкції) на вихідної метриці Y, GLMNET розмножується як оцінки і лямбда по і повертає ці результати до користувача,$s_y$

$$\hat{\beta}_{GLMNET}=s_y\tilde{\beta}_{GLMNET}= (X^TX+N\lambda I_p)^{-1}X^Ty$$ $$\lambda_{unstd.}=s_y\lambda$$

Порівняйте це рішення зі стандартним походженням регресії хребта.

$$\hat{\beta}= (X^TX+\lambda I_p)^{-1}X^Ty$$

Зауважте, що масштабується додатковим фактором N. Крім того, коли ми використовуємо функцію або , покарання буде неявно масштабовано на . Тобто, коли ми використовуємо ці функції для отримання оцінок коефіцієнта для деяких , ми ефективно отримуємо оцінки для .$\lambda$predict()coef()$1/s_y$$\lambda^*$$\lambda=\lambda^*/s_y$

На підставі цих спостережень, покарання використовується в GLMNET має бути розширено з коефіцієнтом .$s_y/N$

set.seed(123)

n    <- 1000
p   <-  100
X   <- matrix(rnorm(n*p,0,1),n,p)
beta <- rnorm(p,0,1)
Y    <- X%*%beta+rnorm(n,0,0.5)

sd_y <- sqrt(var(Y)*(n-1)/n)[1,1]

beta1 <- solve(t(X)%*%X+10*diag(p),t(X)%*%(Y))[,1]

fit_glmnet <- glmnet(X,Y, alpha=0, standardize = F, intercept = FALSE, thresh = 1e-20)
beta2 <- as.vector(coef(fit_glmnet, s = sd_y*10/n, exact = TRUE))[-1]
cbind(beta1[1:10], beta2[1:10])

           [,1]        [,2]
[1,]  0.23793862  0.23793862
[2,]  1.81859695  1.81859695
[3,] -0.06000195 -0.06000195
[4,] -0.04958695 -0.04958695
[5,]  0.41870613  0.41870613
[6,]  1.30244151  1.30244151
[7,]  0.06566168  0.06566168
[8,]  0.44634038  0.44634038
[9,]  0.86477108  0.86477108
[10,] -2.47535340 -2.47535340

Результати узагальнюють до включення перехоплюючих та стандартизованих змінних X. Ми модифікуємо стандартизовану матрицю X, щоб включати стовпчик з них і діагональну матрицю, щоб мати додатковий нульовий запис у позиції [1,1] (тобто не карайте перехоплення). Потім можна скасувати стандартизацію оцінок за відповідними стандартними відхиленнями вибірки (знову переконайтеся, що ви використовуєте 1 / n при обчисленні стандартного відхилення).

$$\hat\beta_{j}=\frac{\tilde{\beta_j}}{s_{x_j}}$$

$$\hat\beta_{0}=\tilde{\beta_0}-\bar{x}^T\hat{\beta}$$

mean_x <- colMeans(X)
sd_x <- sqrt(apply(X,2,var)*(n-1)/n)
X_scaled <- matrix(NA, nrow = n, ncol = p)
for(i in 1:p){
    X_scaled[,i] <- (X[,i] - mean_x[i])/sd_x[i] 
}
X_scaled_ones <- cbind(rep(1,n), X_scaled)

beta3 <- solve(t(X_scaled_ones)%*%X_scaled_ones+1000*diag(x = c(0, rep(1,p))),t(X_scaled_ones)%*%(Y))[,1]
beta3 <- c(beta3[1] - crossprod(mean_x,beta3[-1]/sd_x), beta3[-1]/sd_x)

fit_glmnet2 <- glmnet(X,Y, alpha=0, thresh = 1e-20)
beta4 <- as.vector(coef(fit_glmnet2, s = sd_y*1000/n, exact = TRUE))

cbind(beta3[1:10], beta4[1:10])
             [,1]        [,2]
 [1,]  0.24534485  0.24534485
 [2,]  0.17661130  0.17661130
 [3,]  0.86993230  0.86993230
 [4,] -0.12449217 -0.12449217
 [5,] -0.06410361 -0.06410361
 [6,]  0.17568987  0.17568987
 [7,]  0.59773230  0.59773230
 [8,]  0.06594704  0.06594704
 [9,]  0.22860655  0.22860655
[10,]  0.33254206  0.33254206

Додано код, щоб показати стандартизований X без перехоплення:

set.seed(123)

n <- 1000
p <-  100
X <- matrix(rnorm(n*p,0,1),n,p)
beta <- rnorm(p,0,1)
Y <- X%*%beta+rnorm(n,0,0.5)

sd_y <- sqrt(var(Y)*(n-1)/n)[1,1]

mean_x <- colMeans(X)
sd_x <- sqrt(apply(X,2,var)*(n-1)/n)

X_scaled <- matrix(NA, nrow = n, ncol = p)
for(i in 1:p){
    X_scaled[,i] <- (X[,i] - mean_x[i])/sd_x[i] 
}

beta1 <- solve(t(X_scaled)%*%X_scaled+10*diag(p),t(X_scaled)%*%(Y))[,1]

fit_glmnet <- glmnet(X_scaled,Y, alpha=0, standardize = F, intercept = 
FALSE, thresh = 1e-20)
beta2 <- as.vector(coef(fit_glmnet, s = sd_y*10/n, exact = TRUE))[-1]
cbind(beta1[1:10], beta2[1:10])

             [,1]        [,2]
 [1,]  0.23560948  0.23560948
 [2,]  1.83469846  1.83469846
 [3,] -0.05827086 -0.05827086
 [4,] -0.04927314 -0.04927314
 [5,]  0.41871870  0.41871870
 [6,]  1.28969361  1.28969361
 [7,]  0.06552927  0.06552927
 [8,]  0.44576008  0.44576008
 [9,]  0.90156795  0.90156795
[10,] -2.43163420 -2.43163420

Відповідно до https://web.stanford.edu/~hastie/glmnet/glmnet_alpha.html , коли сім'я gaussian, glmnet()слід мінімізувати

$$\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-x_i^T\beta)^2 +\lambda\sum_{j=1}^p(\alpha|\beta_j| +(1-\alpha)\beta_j^2/2). \tag{1}$$

При використанні glmnet(x, y, alpha=1)для підключення ласо до стовпців у стандартизованим рішенням для повідомленого штрафу є рішення для мінімізації Однак, принаймні , при використанні для пристосування регресії хребта рішенням повідомленого штрафу є рішення мінімізації де - стандартне відхилення . Тут про покарання слід було повідомити як .$x$$\lambda$

$$\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-x_i^T\beta)^2 +\lambda \sum_{j=1}^p |\beta_j|.$$ glmnet_2.0-13glmnet(x, y, alpha=0)$\lambda$ $$\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-x_i^T\beta)^2 +\lambda \frac{1}{2s_y} \sum_{j=1}^p \beta_j^2.$$ $s_y$$y$$\lambda/s_y$

Що може статися, це те, що функція спочатку стандартизує до а потім мінімізує що ефективно зводить до мінімуму або рівнозначно, щоб мінімізувати $y$$y_0$

$$\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n (y_{0i}-x_i^T\gamma)^2 +\eta \sum_{j=1}^p(\alpha|\gamma_j| +(1-\alpha)\gamma_j^2/2), \tag{2}$$ $$\frac{1}{2n s_y^2} \sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-x_i^T\beta)^2 +\eta \frac{\alpha}{s_y} \sum_{j=1}^p |\beta_j| +\eta \frac{1-\alpha}{2s_y^2} \sum_{j=1}^p \beta_j^2,$$ $$\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-x_i^T\beta)^2 +\eta s_y \alpha \sum_{j=1}^p |\beta_j| +\eta (1-\alpha) \sum_{j=1}^p \beta_j^2/2.$$

Для lasso ( ) масштабування назад, щоб повідомити про штраф, оскільки має сенс. Тоді для всіх , слід повідомити як штраф, щоб підтримувати безперервність результатів через . Це, мабуть, причина проблеми вище. Частково це пов'язано з використанням (2) для розв’язання (1). Тільки коли або існує деяка еквівалентність між завданнями (1) і (2) (тобто відповідність між в (1) і в (2)). Для будь-якого іншого$\alpha=1$$\eta$$\eta s_y$$\alpha$$\eta s_y$$\alpha$$\alpha=0$$\alpha=1$$\lambda$$\eta$$\alpha\in(0,1)$, задачі (1) та (2) - це дві різні проблеми оптимізації, і між в (1) та в (2) немає відповідності один на один .$\lambda$$\eta$