Зворотний відбір CDF для змішаного розподілу

Позаконтекстна коротка версія

Нехай - випадкова величина з CDF $y$

$$F(\cdot) \equiv \cases{\theta & y = 0 \\ \theta + (1-\theta) \times \text{CDF}_{\text{log-normal}}(\cdot; \mu, \sigma) & y > 0}$$

Скажімо, я хотів імітувати малюнки за допомогою зворотного методу CDF. Це можливо? Ця функція точно не має зворотного. Потім знову є вибіркове зворотне перетворення для розподілу суміші двох нормальних розподілів, що говорить про те, що існує відомий спосіб застосувати вибіркове обернене перетворення тут.$y$

Мені відомо про двоетапний метод, але я не знаю, як застосувати його до моєї ситуації (див. Нижче).

---

Довга версія з фоном

Я встановив таку модель для відповіді, що оцінюється векторною, , використовуючи MCMC (конкретно, Стен):$y^i = \left( y_1 , \dots , y_K \right)^i$

$$\theta_k^i \equiv \operatorname{logit}^{-1}\left( \alpha_k x^i \right), \quad \mu_k^i \equiv \beta_k x^i - \frac{ \sigma^2_k }{ 2 } \\ F(\cdot) \equiv \cases{\theta & y = 0 \\ \theta + (1-\theta) \times \text{CDF}_{\text{log-normal}}(\cdot; \mu, \sigma) & y > 0} \\ u_k \equiv F(y_k), \quad z_k \equiv\Phi^{-1}{\left( u_k \right)} \\ z \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, R) \times \prod_k f(y_k) \\ \left( \alpha, \beta, \sigma, R \right) \sim \text{priors}$$

де індексує спостережень, - кореляційна матриця, а - вектор предикторів / регресорів / ознак.$i$$N$$R$$x$

Тобто моя модель є регресійною моделлю, в якій умовний розподіл відповіді вважається копулою Гаусса з нуля-завищеними логарифмичними нормами. Я вже писав про цю модель раніше; виявляється, що Song, Li та Yuan (2009, Gated ) розробили його і називають його вектором GLM, або VGLM. Далі їх специфікація максимально наближена до дослівного, оскільки я міг би її отримати: Мій

$$f(\mathbf{y}; \mathbf{\mu}, \mathbf{\varphi}, \Gamma) = c\{ G_1(y_1), \dots, G_m(y_m) | \Gamma \} \prod_{i=1}^m g(y_i; \mu_i, \varphi_i) \\ c(\mathbf{u} | \Gamma) = \left| \Gamma \right|^{-1/2}\exp\left( \frac{1}{2} \mathbf{q}^T \left( I_m - \Gamma^{-1} \right) \mathbf{q} \right) \\ \mathbf{q} = \left( q_1, \dots, q_m \right)^T, \quad q_i = \Phi^{-1}(u_i)$$ $F_K$відповідає їх , мій відповідає їх , а мій відповідає їх ; подробиці наведені на сторінці 62 (стор. 3 файлу PDF), але вони інакше ідентичні тому, що я написав тут.$G_m$$z$$\mathbf{q}$$R$$\Gamma$

Нульова завищена частина приблизно відповідає специфікації Лю і Чана (2010 р., Необ’єднана ).

Зараз я хотів би імітувати дані з розрахункових параметрів, але я трохи розгублений, як це робити. Спочатку я подумав, що можу просто імітувати безпосередньо (у коді R):$y$

for (i in 1:N) {
    for (k in 1:K) {
        Y_hat <- rbinom(1, 1, 1 - theta[i, k])
        if (Y_hat == 1)
            Y_hat <- rlnorm(1, mu[i, k], sigma[k])
    }
}

який не використовує на всіх. Я хотів би спробувати реально використовувати матрицю кореляції, яку я оцінив.$R$

Наступною моєю ідеєю було взяти креслення і потім перетворити їх назад у . Це також, схоже, збігається з відповідями, отриманими у зразках з копули в R та двовимірному відборі для розподілу, вираженими в теоремі копули Скляра? . Але який чорт тут мій ? Обратна вибірка перетворень для розподілу суміші двох нормальних розподілів дозволяє здатися, що це можливо, але я не маю уявлення, як це зробити.$z$$y$$F^{-1}$

Відповідь на довгу версію з фоном:

Ця відповідь на довгу версію дещо вирішує інше питання, і, як ми маємо труднощі при формулюванні моделі та проблеми, я вирішу перефразувати її тут, сподіваюся, правильно.

Для метою є моделювання векторів таким чином, що, за умови коваріату , з . Отже, якщо хочеться моделювати дані з цієї моделі, можна зробити наступне:$1\le i\le I$$y^i=(y^i_1,\ldots,y^i_K)$$x^i$

$$y_k^i = \begin{cases} 0 &\text{ with probability }\operatorname{logit}^{-1}\left( \alpha_k x^i \right)\\ \log(\sigma_k z_k^i + \beta_k x^i) &\text{ with probability }1-\operatorname{logit}^{-1}\left( \alpha_k x^i \right)\end{cases}$$ $z^i=(z^i_1,\ldots,z^i_K)\sim\mathcal{N}_K(0,R)$

Для ,$1\le i\le I$

1. Створити$z^i=(z^i_1,\ldots,z^i_K)\sim\mathcal{N}_K(0,R)$
2. Створити$u^i_1,\ldots,u^i_K \stackrel{\text{iid}}{\sim} \mathcal{U}(0,1)$
3. Вивести за$y^i_k=\mathbb{I}\left\{u^i_k>\operatorname{logit}^{-1}\left( \alpha_k x^i \right)\right\}\, \log\{ \sigma_k z_k^i + \beta_k x^i\}$$1\le k\le K$

Якщо хтось зацікавлений у поколінні з задньої частини урахуванням , це є більш важкою проблемою, хоча це можливо і за допомогою вибірки Гіббса або ABC.$(\alpha,\beta,\mu,\sigma,R)$$y^i_ k$

Відповідь на позашлункову коротку версію:

"Інвертування" PDF-файлу, який не перетворюється в математичному сенсі (як ваш змішаний розподіл), можливо, як описано в більшості підручників Монте-Карло. (Як і наша , див. Лемму 2.4.) Якщо визначити узагальнений зворотний тоді Це означає, що коли має стрибок при , для . Іншими словами, якщо ви намалюєте рівномірний і він закінчується меншим, ніж , ваше покоління

$$F^{-}(u) = \inf\left\{ x\in\mathbb{R};\ F(x)\ge u \right\}$$ $$X \sim F \text{ is equivalent to } X=F^{-}(U)\text{ when } U\sim\mathcal{U}(0,1)\,.$$ $F(y)$$\theta$$y=0$$F^{-}(u)=0$$u\le\theta$$\mathcal{U}(0,1)$$\theta$$X$дорівнює . В іншому випадку, коли , ви в кінцевому підсумку створюєте з безперервної частини, а саме - log-normal у вашому випадку. Це означає використання другого рівномірного випадкового покоління, , незалежного від першого рівномірного малювання та встановлення для отримання нормального покоління журналу.$x=0$$u>\theta$$v$$y=\exp(\mu+\sigma\Phi^{-1}(v))$

Це майже те, що ваш R-код

Y_hat <- rbinom(1, 1, theta[i, k]) if (Y_hat == 1) Y_hat <- rlnorm(1, mu[i, k], sigma[k])

робить. Ви генеруєте Бернуллі з ймовірністю і якщо він дорівнює , ви перетворюєте його на нормальний журнал. Оскільки це дорівнює 1 з ймовірністю замість цього слід перетворити його на нормальне моделювання журналу, коли воно замість нього дорівнює нулю , і закінчується модифікованим кодом R:$\theta_k^i$$1$$\theta_k^i$

Y_hat <- rbinom(1, 1, theta[i, k])
    if (Y_hat == 0)
        Y_hat <- rlnorm(1, mu[i, k], sigma[k])